Question

Qual o menor ângulo formado pelos vetores que representam geometricamente os números
complexos Z = 1 + $\sqrt{3}$i e $Z^{5}$ ?

Answer 1

Nesses casos é bom escrever o número na forma polar, aquele clássico $z = \rho(\cos\theta+i\sin\theta)$, onde $\rho$ é o módulo de $z$.

i) Primeiramente temos que passar $z$, que está na forma algébrica, para a forma polar. Dado um número complexo $z = a+i.b$ passamos o número para a forma polar da seguinte forma:

$\rho = \sqrt{a^2+b^2}$
$\cos\theta = \dfrac{a}{\rho} \\ \\ \sin\theta=\dfrac{b}{\rho}$

Temos os valores de $a$ e $b$, agora podemos calcular $\rho$ e $\theta$:

$\rho = \sqrt{1^2+(\sqrt3)^2}\Rightarrow \rho=\sqrt{1+3} \Rightarrow \boxed{\rho = 2} \\ \\ \cos\theta = \dfrac{1}{2}; \ \sin\theta = \dfrac{\sqrt{3}}{2} \Rightarrow \boxed{\theta = 60^\circ}$

ii) Agora que temos $\rho$ e $\theta$ podemos usar a fórmula de Moivre para potência de números complexos. Ela precisa que o número esteja na forma polar e diz que:

$z^n = \rho^n(cos(n\theta)+i.\sin(n\theta))$

Como a questão só lida com ângulos não será necessário calcular $z^5$, mas apenas o seu ângulo, que vem a ser $5.\theta = 300^\circ$;

iii) Agora temos o ângulo formado entre $z$ e o eixo x, que mede 60°, e $z^5$ e o eixo x, que mede 300°. Os dois ângulos formados pelos dois vetores são 300°-60° = 240° e 360°-240° = 120° (se você fizer o desenho aí vai entender de onde saiu esse 360°. Infelizmente não consigo dar uma explicação boa sobre isso :/ )
É fácil ver que o menor desses dois ângulos é 120°, que é a resposta do problema

R: 120°