Question

Qual o menor ângulo formado pelos ponteiros de um relógio às 14h42min? ​

Answer 1

O ponteiro menor, ponteiro das horas, percorre 360° (uma volta completa) em 12 horas ou, como vamos utilizar aqui, 720 minutos (12 x 60 min).

Já o ponteiro maior, ponteiro dos minutos, percorre 360° em 60 minutos (1 hora).

Às 14 horas e 42 minutos, o ponteiro das horas percorreu uma volta completa (12 horas) mais o angulo equivalente a 2 horas e 42 minutos ou, como vamos utilizar o tempo em minutos, 162 minutos.

Utilizando uma regra de três simples, podemos determinar este angulo equivalente aos 162 minutos decorridos:

$\begin{array}{ccc}Tempo\,(min)&&Angulo\\720&-----&360^\circ\\162&-----&x\end{array}\\\\\\\\720\cdot x~=~162\cdot 360\\\\\\x~=~\dfrac{162\cdot 360}{720}\\\\\\x~=~\dfrac{162\cdot 1}{2}\\\\\\\boxed{x~=~81^\circ}$

Utilizando novamente uma regra de três simples, podemos determinar o angulo percorrido pelo ponteiro dos minutos nos 42 minutos:

$\begin{array}{ccc}Tempo\,(min)&&Angulo\\60&-----&360^\circ\\42&-----&x\end{array}\\\\\\\\60\cdot x~=~42\cdot 360\\\\\\x~=~\dfrac{42\cdot 360}{60}\\\\\\x~=~42\cdot 6\\\\\\\boxed{x~=~252^\circ}$

Os ponteiros formam entre si dois ângulos, como pode ser visto na figura anexada, sendo que, quase sempre, um dos ângulos será maior que o outro.

Um destes ângulos é calculado pela diferença entre os ângulos percorridos pelos ponteiros.

$1^\circ Angulo~entre~os~ponteiros~=~252^\circ~-~81^\circ\\\\\\\boxed{1^\circ Angulo~entre~os~ponteiros~=~171^\circ}$

O outro angulo é calculado pelo replemento do valor achado acima, logo:

$2^\circ Angulos~entre~os~ponteiros~=~360^\circ~-~171^\circ\\\\\\\boxed{2^\circ Angulos~entre~os~ponteiros~=~189^\circ}$

Como podemos ver pelos valores achados, o menor angulo entre os ponteiros vale 171°.

$\Huge{\begin{array}{c}\Delta \tt{\!\!\!\!\!\!\,\,o}\!\!\!\!\!\!\!\!\:\,\perp\end{array}}Qualquer~d\acute{u}vida,~deixe~ um~coment\acute{a}rio$