Question

Qual o menor ângulo entre os ponteiros de um relógio quando este marca :
a= 12h
b=6h
c=3h57min

Answer 1

a)
Quando o relógio marca 12h, os dois ponteiros estão exatamente sobre o número 12, portanto, o menor ângulo formado é de 0°.

b)
Quando o relógio marcar 6h, o ponteiro das horas está exatamente sobre o número 6 e o ponteiro dos minutos está exatamente sobre o número 12, portanto, o ângulo formado, pelos ponteiros é de 180°.

c)
Partindo da posição 12h no sentido horário, o ponteiro dos minutos leva 60 minuto para completar uma volta completa, ou 360°, ou seja, o ponteiro percorre 1/60 da volta a cada minuto. Portanto, podemos determinar o ângulo "α" que o ponteiro do minuto forma com a posição de partida em função da quantidade "m" de minutos como segue:

α = (1/60 * m) * 360
α = (m / 60) * 360
α = 360m / 60
α = 6m

Portanto, para cada minuto, o ponteiro dos minutos percorre 6°.

Já para o ponteiro das horas, note que o mesmo percorre 1/12 do total da volta a cada hora mais 1/60 de cada fração 1/12 da volta a cada minuto. Assim, podemos definir o ângulo "β" que o ponteiro das horas faz com o ponto de partida em função das horas "h" e dos minutos "m".

β = ( (1/12 * h) + (1/12 * 1/60 * m) ) * 360
β = ( (h / 12) + (m / 720) ) * 360
β = (360h / 12) + (360m / 720)
β = 30h + 0,5m

Portanto, o ponteiro das horas percorre 30° por hora mais 0,5° por minuto.

Com isso, podemos determinar o ângulo "∅" formado pelos ponteiros do relógio pelo módulo da subtração entre os ângulos "α" e "β" de cada ponteiro com o ponto de partida.

∅ = | α - β |
∅ = | (6m) - (30h + 0,5m) |
∅ = | 6m - 30h - 0,5m |
∅ = | 5,5m - 30h |

Com a fórmula acima, podemos determinar o ângulo "∅" formado pelos ponteiros a qualquer hora do dia. Como queremos saber o valor do ângulo às 3h 57min, vamos considerar "h = 3" e "m = 57".

∅ = | 5,5m - 30h |
∅ = | 5,5 * 57 - 30 * 3 |
∅ = | 313,5 - 90 |
∅ = | 223,5 |
∅ = 223,5

Portanto, o ângulo formado pelos ponteiros do relógio às 3h e 57min é de 223,5°.
Porém, note que esse é o maior ângulo que os ponteiros formam, logo, o menor ângulo formado é 360 - 223,5 = 136,5°.