Question

qual o limite de:
x²-4x+4/x²-4 lim=2

Answer 1

Primeiramente, verificaremos se há indeterminação no limite. Para isso, vamos substituir o valor para o qual x está tendendo diretamente na expressão do limite:

$\dfrac{x^2-4x+4}{x^2-4}\to\text{Para x=2: }\dfrac{2^2-4\cdot2+4}{2^2-4}=\dfrac{4-8+4}{4-4}=\dfrac{0}{0}$

Portanto, o limite apresenta uma indeterminação do tipo 0/0. Vamos resolver essa questão de duas maneiras, eliminando essa indeterminação de formas diferentes:

1ª maneira)

Como é uma indeterminação do tipo 0/0, podemos aplicar a regra de L'Hôpital. Assim:

$\lim_{x\to2}\dfrac{x^2-4x+4}{x^2-4}=\lim_{x\to2}\dfrac{2x-4}{2x}$

Veja que agora não há mais indeterminação no limite e podemos substituir na sua expressão o valor para qual x está tendendo:

$\lim_{x\to2}\dfrac{x^2-4x+4}{x^2-4}=\lim_{x\to2}\dfrac{2x-4}{2x}\\\\ \lim_{x\to2}\dfrac{x^2-4x+4}{x^2-4}=\dfrac{2\cdot2-4}{2\cdot2}\\\\ \lim_{x\to2}\dfrac{x^2-4x+4}{x^2-4}=\dfrac{4-4}{4}=\dfrac{0}{4}\\\\ \boxed{\lim_{x\to2}\dfrac{x^2-4x+4}{x^2-4}=0}$

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2ª maneira)

Vamos escrever os polinômios do numerador e do denominador na forma de produto notável (equivale a dizer que vamos fatorá-los, neste caso):

$\lim_{x\to2}\dfrac{x^2-4x+4}{x^2-4}=\lim_{x\to2}\dfrac{(x-2)^2}{(x-2)(x+2)}\\\\ \lim_{x\to2}\dfrac{x^2-4x+4}{x^2-4}=\lim_{x\to2}\dfrac{(x-2)}{(x+2)}$

Repare que não há mais indeterminação na expressão do limite. Logo:

$\lim_{x\to2}\dfrac{x^2-4x+4}{x^2-4}=\lim_{x\to2}\dfrac{x-2}{x+2}\\\\ \lim_{x\to2}\dfrac{x^2-4x+4}{x^2-4}=\dfrac{2-2}{2+2}=\dfrac{0}{4}\\\\ \boxed{\lim_{x\to2}\dfrac{x^2-4x+4}{x^2-4}=0}$