Qual o limite de x tendendo a p (raiz cúbica de x- raiz cubica de p )/x-p
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Oi Nauan.
Eu acho q vc já tentou fazer e acabou caindo na indeterminação "0 / 0" né?
Para escaparmos dessa indeterminação, usaremos o seguinte artifício matemático baseado na diferença de dois cubos.
![x - p = ( \sqrt[3]{x} - \sqrt[3]{p} )( \sqrt[3]{x^2} + \sqrt[3]{xp} + \sqrt[3]{p^2} )](https://tex.z-dn.net/?f=x+-+p+%3D+%28+%5Csqrt%5B3%5D%7Bx%7D+-++%5Csqrt%5B3%5D%7Bp%7D+%29%28+%5Csqrt%5B3%5D%7Bx%5E2%7D++%2B++%5Csqrt%5B3%5D%7Bxp%7D++%2B++%5Csqrt%5B3%5D%7Bp%5E2%7D+%29 "x - p = ( \sqrt[3]{x} - \sqrt[3]{p} )( \sqrt[3]{x^2} + \sqrt[3]{xp} + \sqrt[3]{p^2} )")
Portanto:
![\lim_{x \to p} \frac{( \sqrt[3]{x} - \sqrt[3]{p} )}{x - p} --\ \textgreater \ \lim_{x \to p} \frac{( \sqrt[3]{x} - \sqrt[3]{p} )}{( \sqrt[3]{x} - \sqrt[3]{p} )( \sqrt[3]{x^2} + \sqrt[3]{xp} + \sqrt[3]{p^2} )} \\ \\ \\ \lim_{x \to p} \frac{1}{ \sqrt[3]{x^2} + \sqrt[3]{xp} + \sqrt[3]{p^2} } ///COM: x - \ \textgreater \ P ///TEMOS///QUE==\ \textgreater \ \\ \\ \\ \frac{1}{ \sqrt[3]{p^2} + \sqrt[3]{p^2} + \sqrt[3]{p^2} } --\ \textgreater \ \frac{1}{3 \sqrt[3]{p^2} } =OU= \frac{1}{3 p^{ \frac{2}{3} } } =OU= (3)^{-1} (p)^{ \frac{-2}{3} }](https://tex.z-dn.net/?f=+%5Clim_%7Bx+%5Cto+p%7D++%5Cfrac%7B%28+%5Csqrt%5B3%5D%7Bx%7D++-++%5Csqrt%5B3%5D%7Bp%7D+%29%7D%7Bx+-+p%7D+--%5C+%5Ctextgreater+%5C++%5Clim_%7Bx+%5Cto+p%7D++%5Cfrac%7B%28+%5Csqrt%5B3%5D%7Bx%7D++-++%5Csqrt%5B3%5D%7Bp%7D+%29%7D%7B%28+%5Csqrt%5B3%5D%7Bx%7D++-++%5Csqrt%5B3%5D%7Bp%7D+%29%28+%5Csqrt%5B3%5D%7Bx%5E2%7D++%2B++%5Csqrt%5B3%5D%7Bxp%7D++%2B++%5Csqrt%5B3%5D%7Bp%5E2%7D+%29%7D+%5C%5C++%5C%5C++%5C%5C++%5Clim_%7Bx+%5Cto+p%7D++%5Cfrac%7B1%7D%7B+%5Csqrt%5B3%5D%7Bx%5E2%7D+%2B++%5Csqrt%5B3%5D%7Bxp%7D+%2B++%5Csqrt%5B3%5D%7Bp%5E2%7D++%7D++%2F%2F%2FCOM%3A+x+-+%5C+%5Ctextgreater+%5C++P+%2F%2F%2FTEMOS%2F%2F%2FQUE%3D%3D%5C+%5Ctextgreater+%5C++%5C%5C++%5C%5C++%5C%5C++%5Cfrac%7B1%7D%7B+%5Csqrt%5B3%5D%7Bp%5E2%7D+%2B++%5Csqrt%5B3%5D%7Bp%5E2%7D++%2B++%5Csqrt%5B3%5D%7Bp%5E2%7D++%7D++--%5C+%5Ctextgreater+%5C+++%5Cfrac%7B1%7D%7B3+%5Csqrt%5B3%5D%7Bp%5E2%7D+%7D+%3DOU%3D+%5Cfrac%7B1%7D%7B3+p%5E%7B+%5Cfrac%7B2%7D%7B3%7D+%7D+%7D+%3DOU%3D+%283%29%5E%7B-1%7D++%28p%29%5E%7B+%5Cfrac%7B-2%7D%7B3%7D+%7D+ "\lim_{x \to p} \frac{( \sqrt[3]{x} - \sqrt[3]{p} )}{x - p} --\ \textgreater \ \lim_{x \to p} \frac{( \sqrt[3]{x} - \sqrt[3]{p} )}{( \sqrt[3]{x} - \sqrt[3]{p} )( \sqrt[3]{x^2} + \sqrt[3]{xp} + \sqrt[3]{p^2} )} \\ \\ \\ \lim_{x \to p} \frac{1}{ \sqrt[3]{x^2} + \sqrt[3]{xp} + \sqrt[3]{p^2} } ///COM: x - \ \textgreater \ P ///TEMOS///QUE==\ \textgreater \ \\ \\ \\ \frac{1}{ \sqrt[3]{p^2} + \sqrt[3]{p^2} + \sqrt[3]{p^2} } --\ \textgreater \ \frac{1}{3 \sqrt[3]{p^2} } =OU= \frac{1}{3 p^{ \frac{2}{3} } } =OU= (3)^{-1} (p)^{ \frac{-2}{3} }")
É isso, tenha uma boa noite.
Eu acho q vc já tentou fazer e acabou caindo na indeterminação "0 / 0" né?
Para escaparmos dessa indeterminação, usaremos o seguinte artifício matemático baseado na diferença de dois cubos.
Portanto:
É isso, tenha uma boa noite.
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