Question

Qual o limite de 1/(x-1)^2 - 2/(x-1)^4 com x tendendo a 1?

Answer 1

f(x) = 1/[(x-1)^2] - 2/[(x-1)^4]

Observe o que acontece quando x se aproxima de 1 pela esquerda e pela direita. Os valores de f(x) de x disparam para o - infinito.

x → 1  pela esquerda.................f(x)
0,7 ...........................................-112,34568
0,8............................................-600,00000
0,9............................................-9.900,00000
0,99..........................................-99.990.000,00000
0,999........................................-999.998.999.999,99600

x → 1 pela direita...................f(x)
1,1....................................-9.900,00000
1,09..................................-15.118,12224
1,009................................-152.403.444,59687
1,0009..............................-1.524.156.668.191,50000
1,00009.............................-15.241.578.904.182.300,00000 

■ Antes de finalizar lembre: estamos tratando de limite. Então não estamos dividindo por zero e sim, por um número muito pequeno. Na divisão quando fazemos um número dividido por um outro número muito pequeno o quociente é infinitamente pequeno. Essa é lógica de limite. Tipo lim (x→1) 1/(x-1). Quando x vai para 1, o denominador "não fica nulo", mais sim, muito pequeno. Isso é: na vizinhança de 1 pela esquerda e pela direita o denominador se aproxima do valor zero. Tudo bem? Aí temos que investigar. Se ao se aproximar cada vez mais de 1 a fração fica pequena ou grande em módulo. Essa teoria é o segredo do Cálculo Diferencial. Tudo é estudado em cima desse pensamento de limites. Derivada, Integrais e etc. O assunto é sutil. 

■ Outra pergunta que deixa todos de "cabelo em pé". Como saber? Expressões com limites tem que serem trabalhadas. Poucos limites você olha e o resultado é imediato. 1) Levantar indeterminações tipo 0/0, ∞/∞ : que são frequentes. 2) Estude os limites fundamentais; 3) Tenha uma noção básica de gráficos de funções. 

Segue em anexo o gráfico da função para você ter uma melhor noção. 

Espero ter ajudado.
Boa sorte

Sepauto
04.10.2014