Question

Qual o limite da expressão abaixo?

Answer 1

Tem como fazer essas questão de cabeça rapidão. Quando n tender a infinito, os termos 5n² e 3n também vão ao infinito, de maneira que o 2 se torna desprezível. Somar infinito com infinito vai dar infinito também, e essa é a resposta.

Se você quiser saber como uma dedução matemática pura do porquê a reposta é infinito, está abaixo.

Sempre que o exercício pedir limite de expressão polinomial, faz o seguinte. Nesse caso parece que mais confunde do que ajuda o método que eu vou explicar, mas quando aparecer limite de polinômios em frações tendendo ao infinito, ele se torna bem útil.

Primeira coisa é colocar o termo de maior grau em evidência. Subtrai o grau de quem você for jogar no parênteses pelo grau de quem está em evidência. Vai ficar mais claro com os cálculos abaixo.

5n² + 3n + 2

Fator Comum em Evidência com o n². Eu achei cada termo assim:

5n² - n² (subtrai só grau) = 5n⁰ = 5

3n - n² (subtrai só grau) = 3n⁻¹

2n⁰ - n² (subtrai só o grau) = 2n⁻².

n²(5 + 3n⁻¹ + 2n⁻²). Essa é a expressão com o n² em evidência.

Beleza, agora analisamos o que acontece com cada um quando n tende ao infinito. Vamos analisar primeiro o 2n⁻²

$2n^{-2} = \frac{2}{n^{2} }$ Quando o denominador tende ao infinito, a fração tende a zero e podemos cortar esse termo da expressão.

n²(5 + 3n⁻¹)

$3n^{-1} = \frac{3}{n^{1} }$ De novo, o denominador vai tender ao infinito e a fração vai tender a zero. Corta ela

n²(5) = 5n²

Agora, quando n tende ao infinito, 5n² também vai tender ao infinito. Pronto. Esse método serve para todas os casos que tiver expressão polinomial de limite tendendo ao infinito.

$\lim_{n \to \infty} 5n^{2} + 3n + 2 = \infty$

Espero ter ajudado!