Question

Qual o limite ( √(25+3t) - 5) / t , quando t tende a zero?

Answer 1

Calcular o limite da função

     $\lim\limits_{t\to 0}\dfrac{\sqrt{25+3t}-5}{t}$


Faça uma mudança de variável:

     $\sqrt{25+3t}=u\\\\ 25+3t=u^2\\\\ 3t=u^2-25\\\\ t=\dfrac{u^2-25}{3}$

e  u  tende a  5  quando  t  tende a zero.


Dessa forma, o limite fica

     $\displaystyle\lim_{t\to 0}\frac{\sqrt{25+3t}-5}{t}\\\\\\ =\lim_{u\to 5}\frac{u-5}{~~\frac{u^2-25}{3}~~}\\\\\\ =\lim_{u\to 5}\frac{3(u-5)}{u^2-25}\\\\\\ =\lim_{u\to 5}\frac{3(u-5)}{u^2-5^2}$


Fatore o denominador usando produtos notáveis. A diferença entre quadrados é o produto da soma pela diferença. Assim, o limite fica

     $=\lim\limits_{u\to 5}\dfrac{3(u-5)}{(u-5)(u+5)}$


Simplifique o fator comum  (u − 5)  que aparece no numerador e no denominador:

     $=\lim\limits_{u\to 5}\dfrac{3}{u+5}\\\\\\ =\dfrac{3}{5+5}$

     $=\dfrac{3}{10}$    <————    esta é a resposta.


Bons estudos! :-)