Question

Qual o lim de $\lim_{x \to \infty} (x- \sqrt{x} )$?

Multipliquei numerador e denominador pelo conjugado, e depois dividi o resultado por x, mas a indeterminação infinito sobre infinito continua, no caso, a indeterminação ficou raiz de x sobre x. Como sair dessa indeterminação? Desde já agradeço a ajuda!

Answer 1

$\lim\limits_{x\rightarrow\infty}(x-\sqrt{x})=\lim\limits_{x\rightarrow\infty}\dfrac{(x-\sqrt{x})(x+\sqrt{x})}{x+\sqrt{x}}\\\\\\\lim\limits_{x\rightarrow\infty}(x-\sqrt{x})=\lim\limits_{x\rightarrow\infty}\dfrac{x^{2}-(\sqrt{x})^{2}}{x+\sqrt{x}}\\\\\\lim\limits_{x\rightarrow\infty}=\lim\limits_{x\rightarrow\infty}\dfrac{x^{2}-x}{x+\sqrt{x}}\\\\\\\lim\limits_{x\rightarrow\infty}(x-\sqrt{x})=\lim\limits_{x\rightarrow\infty}\dfrac{x(x-1)}{x+\sqrt{x^{2}(\frac{1}{x})}}$

Separando a raiz:

$\lim\limits_{x\rightarrow\infty}(x-\sqrt{x})=\lim\limits_{x\rightarrow\infty}\dfrac{x(x-1)}{x+\sqrt{x^{2}}\sqrt{(\frac{1}{x})}}\\\\\\\lim\limits_{x\rightarrow\infty}(x-\sqrt{x})=\lim\limits_{x\rightarrow\infty}\dfrac{x(x-1)}{x+|x|\sqrt{\frac{1}{x}}}$

Como x > 0, |x| = x:

$\lim\limits_{x\rightarrow\infty}(x-\sqrt{x})=\lim\limits_{x\rightarrow\infty}\dfrac{x(x-1)}{x+x\sqrt{\frac{1}{x}}}\\\\\\\lim\limits_{x\rightarrow\infty}(x-\sqrt{x})=\lim\limits_{x\rightarrow\infty}\dfrac{x(x-1)}{x(1+\sqrt{\frac{1}{x}})}\\\\\\\lim\limits_{x\rightarrow\infty}(x-\sqrt{x})=\lim\limits_{x\rightarrow\infty}\dfrac{x-1}{1+\sqrt{\frac{1}{x}}}$

Veja que, quando x tende a infinito, a raiz do denominador vai pra zero, e o denominador vai pra 1. O numerador é uma função crescente, portanto, a função admite valores arbitrariamente grandes, tomando x suficientemente grande:

$\boxed{\boxed{\lim\limits_{x\rightarrow\infty}(x-\sqrt{x})=\infty}}$