Question

Qual o Lim 1/n quando n tende a infinito? ​

Answer 1

Resposta:

$\boxed{\bold{\displaystyle{\underset{n\rightarrow +\infty}{\lim}~\dfrac{1}{n}=0}}}$

Explicação passo-a-passo:

Olá, boa noite.

Para encontrarmos o limite $\underset{n\rightarrow+\infty}{\lim}~\dfrac{1}{n}$, utilizaremos a Regra de l'Hôpital.

Seja o limite da função racional $\underset{x\rightarrow c}{\lim}~\dfrac{f(x)}{g(x)}=L$, tal que $f(x)$ e $g(x)$ são diferenciáveis e logo, contínuas em $c$.

Visto que são contínuas, podemos reescrever o limite como:

$\dfrac{\underset{x\rightarrow c}{\lim}~f(x)}{\underset{x\rightarrow c}{\lim} ~g(x)}=L$

Então, pela definição de continuidade, mostramos que

$\dfrac{\underset{x\rightarrow c}{\lim}~f(x)-f(c)}{\underset{x\rightarrow c}{\lim} ~g(x)-g(c)}=L$

Dividindo ambas as frações por $x-c$, temos

$\dfrac{\underset{x\rightarrow c}{\lim}~\dfrac{f(x)-f(c)}{x-c}}{\underset{x\rightarrow c}{\lim} ~\dfrac{g(x)-g(c)}{x-c}}=L$

Faça uma substituição $\Delta{x}=x-c$. Quando $\Delta{x}\rightarrow0$, podemos ver que $x\rightarrow c$, logo:

$\dfrac{\underset{\Delta{x}\rightarrow0}{\lim}~\dfrac{f(x)-f(x-\Delta{x})}{\Delta{x}}}{\underset{\Delta{x}\rightarrow0}{\lim} ~\dfrac{g(x)-g(x-\Delta{x})}{\Delta{x}}}=L$

Pela definição de derivada, afirmamos que

$\dfrac{\underset{x\rightarrow c}{\lim}~f'(x)}{\underset{x\rightarrow c}{\lim}~g'(x)}=L$

Então, como as funções são contínuas, dizemos que

$\boxed{\underset{x\rightarrow c}{\lim}~\dfrac{f(x)}{g(x)}=\underset{x\rightarrow c}{\lim}~\dfrac{f'(x)}{g'(x)} = \dfrac{f'(c)}{g'(c)}}$

Voltemos ao enunciado. Para calcularmos o limite:

$\underset{n\rightarrow +\infty}{\lim}~\dfrac{1}{n}$

Aplique a regra de l'Hopital

$\underset{n\rightarrow +\infty}{\lim}~\dfrac{(1)'}{(n)'}$

Lembre-se que:

• A derivada de uma constante é igual a zero.
• A derivada de uma potência é dada por $(x^k)=k\cdot x^{k-1}$.

Logo, teremos

$\underset{n\rightarrow +\infty}{\lim}~\dfrac{0}{1\cdot n^{1-1}}$

Somando os valores no expoente

$\underset{n\rightarrow +\infty}{\lim}~\dfrac{0}{1\cdot n^{0}}$

Sabendo que $n^0=1$, nosso limite se torna

$\underset{n\rightarrow +\infty}{\lim}~\dfrac{0}{1}$

Simplifique a fração

$\underset{n\rightarrow +\infty}{\lim}~0$

O limite de uma constante é igual a própria constante, logo

$0$

Este é o limite da nossa função.