Question

qual o imagem da função y = 2 + sen x ? e y = 5 cos x ?

Answer 1

Para as funções seno e cosseno de um ângulo $\alpha$ qualquer, temos

$\bullet\;\;-1\leq \mathrm{sen\,}\alpha\leq 1\\ \\ \bullet\;\;-1\leq \cos \alpha\leq 1$


a) $y=2+\mathrm{sen\,}x$

$-1\leq \mathrm{sen\,}x\leq 1$


Somando $2$ a todos os membros da dupla desigualdade acima, temos

$2-1\leq 2+\mathrm{sen\,}x\leq 2+1\\ \\ 1 \leq 2+\mathrm{sen\,}x\leq 3\\ \\ 1 \leq y \leq 3$


Logo, o conjunto imagem desta função é

$\left\{y \in \mathbb{R}\left|\,1 \leq y \leq 3 \right. \right \}$

ou usando a notação de intervalos para representar este conjunto,

$\left[\,1,\,3\, \right ]$


b) $y=5\cos x$

$-1 \leq \cos x \leq 1$


Multiplicando todos os membros da dupla desigualdade acima por $5$, temos

$5\cdot \left(-1 \right ) \leq 5\cos x \leq 5\cdot 1\\ \\ -5\leq 5\cos x \leq 5\\ \\ -5 \leq y \leq 5$


Logo, o conjunto imagem desta função é

$\left\{y \in \mathbb{R}\left|\,-5 \leq y \leq 5\right. \right\}$

ou usando a notação de intervalos para representar este conjunto,

$\left[\,-5,\,5\, \right ]$