Question

Qual o domínio de 2x-3x² raiz sobre tudo

Answer 1

Vamos lá.

Lorena, pelo que estamos entendendo, você quer o domínio da seguinte expressão, que vamos chamá-la de um certo "y", apenas para deixá-la igualada a alguma coisa:

y = √(2x-3x²)

Agora note: no campo dos Reais, radicais de índice par só admitem radicandos que sejam MAIORES ou IGUAIS a zero. Então deveremos impor que o radicando (2x-3x²) seja MAIOR ou IGUAL a zero. Assim:

2x - 3x² ≥ 0 ----- vamos apenas ordenar, ficando:
- 3x² + 2x ≥ 0

Agora note: vamos encontrar as raízes da equação -3x²+2x = 0. Depois, em função das raízes estudaremos a variação de sinais da inequação dada, que é [-3x²+2x ≥ 0]. Para isso, vamos colocar "x" em evidência, com o que ficaremos:

x*(-3x+2) = 0 ---- veja que aqui temos o produto entre dois fatores cujo resultado é nulo. Quando isso ocorre, um dos fatores é nulo. Então teremos as seguintes possibillidades:

ou
x = 0 ----> x' = 0

ou
-3x+2 = 0 ---> - 3x = - 2 ---> 3x = 2 ---> x'' = 2/3.

Agora vamos estudar a variação de sinais da inequação: -3x²+2x ≥ 0. Assim:

- 3x² + 2x ≥ 0 ..- - - - - - - - - - - - (0)+ + + + + + + + (2/3)- - - - - - - - - - - - - - - - -

Como queremos que a inequação seja MAIOR ou IGUAL a zero, então só nos vai interessar onde tiver sinal de MAIS ou seja igual a zero no gráfico acima. Assim, o intervalo de domínio da inequação será este:

0 ≤ x ≤ 2/3

Ou se quiser, você poderá apresentar o domínio da seguinte forma, o que é a mesma coisa:

D = {x ∈ R | 0 ≤ x ≤ 2/3}

Ou ainda, também se quiser, o domínio poderá ser expresso do seguinte modo, o que dá no mesmo:

D = [0; 2/3] .

É isso aí.
Deu pra entender bem?

OK?
Adjemir.