Question

Qual o domínio da função f dada por f(x)=log 5 (-x^2+5x-6)...
Ajudem..

Answer 1

Utilizando definição de domínio, função logaritmitca e inequações desegundo grau, temos que esta função ao todo só existe no intervalo entre x = 2 e x = 3, logo o domínio dela é dado por: Dom = { x e R / 2 < x < 3}.

Explicação passo-a-passo:

Então temso que nos foi dada a função logaritmica:

$f(x)=Log_{5}(-x^2+5x-6)$

E sabemos que o domínio de uma função são todos os valores que podemos substituir em 'x' para que ela seja possível de se realizar. Neste caso temos uma função logaritmica, e o logaritmo de um número só existe se ele for positivo (maior que 0), pois não existem nenhuma potência, elevada a nenhum expoente que resulte em um resultado negativo, então para nossa função existir, nosso logaritmando deve ser positivo, ou seja:

$-x^2+5x-6>0$

E esta por sua vez é uma inequação de segundo grau, que podemos descobrir suas raízes facilmente por soma e produto ao invés de Bhaskara:

$x_1+x_2=5$

$x_1\cdot x_2=6$

Assim é facil ver que as raízes que somadas são iguais a 5 e multiplicadas são iguais a 6 são as raízes x = 2 e x = 3.

Sabendo as raízes, sabemos quais são os pontos em que a função é igual a 0, mas note que uma equação de segundo grau, tem gráfico de parabola, e neste caso a parabola é com concavidade voltada para baixo, pois o coeficiente de 'x²' é negativo.

Isto significa que esta inequação só é positiva no pequeno espaço da "ponta" da parabola que está entre as raízes, como podemos ver na figura em anexo.

Ou seja, esta função ao todo só existe no intervalo entre x = 2 e x = 3, logo o domínio dela é dado por: Dom = { x e R / 2 < x < 3}.