Qual o domínio da função exponencial y=dois elevado a x??
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Qual o domínio da função exponencial y = 2x ?
Solução: sabemos que o domínio de uma função y = f(x) é o conjunto de valores que podem ser atribuídos a x. Observe que x sendo um expoente, ele poderá assumir qualquer valor e, portanto, o domínio da função dada é o conjunto dos números reais, ou seja:
D = R.
Qual o conjunto imagem da função y = 2x ?
Solução: sabemos que o conjunto imagem de uma função y = f(x) é o conjunto de todos os valores que podem ser assumidos por y. Ora, como y = 2xe x Î R, vemos facilmente que 2x será sempre um número positivo e, portanto, como y = 2x , concluímos que y será sempre positivo. Logo, o conjunto imagem da função dada será igual a Im = {x ÎR | x > 0}. Este conjunto pode também ser representado na forma Im = R+* , onde o sinal de asterisco, por convenção matemática, exclui o zero.
Chama-se equação exponencial toda equação cuja incógnita figura num expoente. Nestas condições, pede-se resolver as seguintes equações:
a) 4x – 20.2x + 64 = 0
Solução: Sabemos que 4x = (22)x = (2x)2 . Utilizando o artifício de fazer 2x = y (isto chama-se mudança de variável) vem, substituindo: y2 – 20y + 64 = 0. Ora, esta é uma equação do segundo grau cujas raízes são y = 16 ou y = 4. Substituindo na mudança de variável feita acima, teremos: 2x = 16 ou 2x = 4, de onde tiramos imediatamente que x = 4 ou x = 2. Portanto, o conjunto solução da equação proposta é S = {2; 4}.
b) 2x - 3 = (2x - 3)2
Solução: Fazendo 2x - 3 = y, vem substituindo: y = y2 . Daí vem que y2 – y = 0 , o que é equivalente a y(y – 1) = 0 . Ora, para que o produto seja nulo deveremos ter y = 0 ou y = 1. Voltando à mudança de variável teremos: 2x – 3 = 0 ou 2x – 3 = 1. Vamos resolver cada uma separadamente.
2x – 3 = 0 Þ 2x = 3 ; da teoria dos logaritmos tiramos imediatamente que x = log23
2x – 3 = 1 Þ 2x = 4, de onde tiramos imediatamente que x = 2. Portanto, o conjunto solução da equação proposta é S = {2; log23}.
c) 3x+1 + 81/3x = 36
Solução: A equação dada pode ser reescrita como: 3x . 31 + 81/3x – 36 = 0
Fazendo a mudança de variável 3x = y vem: 3y + 81/y – 36 = 0
Multiplicando ambos os membros por y ≠ 0 (observe que y está no denominador e portanto, não pode ser igual a zero), obteremos: 3y2 + 81 – 36y = 0
Arrumando a igualdade anterior fica: 3y2 – 36y + 81 = 0. Vejam que podemos simplificar a equação, dividindo ambos os membros por 3, resultando:
y2 – 12y + 27 = 0 ; ora, esta é uma equação do segundo grau cujas raízes são y = 9 ou y = 3. Voltando à mudança de variável teremos: 3x = 9 ou 3x= 3. Da primeira vem que x = 2 e da segunda vem que x = 1. Portanto, o conjunto solução da equação proposta é S = {2; 1} ou de uma forma equivalente: S = {1; 2}.
Solução: sabemos que o domínio de uma função y = f(x) é o conjunto de valores que podem ser atribuídos a x. Observe que x sendo um expoente, ele poderá assumir qualquer valor e, portanto, o domínio da função dada é o conjunto dos números reais, ou seja:
D = R.
Qual o conjunto imagem da função y = 2x ?
Solução: sabemos que o conjunto imagem de uma função y = f(x) é o conjunto de todos os valores que podem ser assumidos por y. Ora, como y = 2xe x Î R, vemos facilmente que 2x será sempre um número positivo e, portanto, como y = 2x , concluímos que y será sempre positivo. Logo, o conjunto imagem da função dada será igual a Im = {x ÎR | x > 0}. Este conjunto pode também ser representado na forma Im = R+* , onde o sinal de asterisco, por convenção matemática, exclui o zero.
Chama-se equação exponencial toda equação cuja incógnita figura num expoente. Nestas condições, pede-se resolver as seguintes equações:
a) 4x – 20.2x + 64 = 0
Solução: Sabemos que 4x = (22)x = (2x)2 . Utilizando o artifício de fazer 2x = y (isto chama-se mudança de variável) vem, substituindo: y2 – 20y + 64 = 0. Ora, esta é uma equação do segundo grau cujas raízes são y = 16 ou y = 4. Substituindo na mudança de variável feita acima, teremos: 2x = 16 ou 2x = 4, de onde tiramos imediatamente que x = 4 ou x = 2. Portanto, o conjunto solução da equação proposta é S = {2; 4}.
b) 2x - 3 = (2x - 3)2
Solução: Fazendo 2x - 3 = y, vem substituindo: y = y2 . Daí vem que y2 – y = 0 , o que é equivalente a y(y – 1) = 0 . Ora, para que o produto seja nulo deveremos ter y = 0 ou y = 1. Voltando à mudança de variável teremos: 2x – 3 = 0 ou 2x – 3 = 1. Vamos resolver cada uma separadamente.
2x – 3 = 0 Þ 2x = 3 ; da teoria dos logaritmos tiramos imediatamente que x = log23
2x – 3 = 1 Þ 2x = 4, de onde tiramos imediatamente que x = 2. Portanto, o conjunto solução da equação proposta é S = {2; log23}.
c) 3x+1 + 81/3x = 36
Solução: A equação dada pode ser reescrita como: 3x . 31 + 81/3x – 36 = 0
Fazendo a mudança de variável 3x = y vem: 3y + 81/y – 36 = 0
Multiplicando ambos os membros por y ≠ 0 (observe que y está no denominador e portanto, não pode ser igual a zero), obteremos: 3y2 + 81 – 36y = 0
Arrumando a igualdade anterior fica: 3y2 – 36y + 81 = 0. Vejam que podemos simplificar a equação, dividindo ambos os membros por 3, resultando:
y2 – 12y + 27 = 0 ; ora, esta é uma equação do segundo grau cujas raízes são y = 9 ou y = 3. Voltando à mudança de variável teremos: 3x = 9 ou 3x= 3. Da primeira vem que x = 2 e da segunda vem que x = 1. Portanto, o conjunto solução da equação proposta é S = {2; 1} ou de uma forma equivalente: S = {1; 2}.
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