Question

Qual o conjunto solução em R da equação |x|/x=|x-1|/x-1

Answer 1

Resolver a equação modular:

$\dfrac{|x|}{x}=\dfrac{|x-1|}{x-1}$


$\bullet\;\;$ Condições de existência:

os denominadores não podem ser iguais a zero:

$x \neq 0\;\;\text{ e }\;\;x-1 \neq 0\\ \\ \Rightarrow\;\;x \neq 0\;\;\text{ e }\;\;x \neq 1$


Resolvendo a equação:

$\dfrac{|x|}{x}=\dfrac{|x-1|}{x-1}\\ \\ \\ \dfrac{|x|}{x}-\dfrac{|x-1|}{x-1}=0$


Reduzindo o lado esquerdo a um mesmo denominador, temos

$\dfrac{|x|\cdot(x-1)}{x\,(x-1)}-\dfrac{x\cdot|x-1|}{x\,(x-1)}=0$


Das condições de existência, tiramos que

$x\,(x-1) \neq 0$

Então, multiplicando os dois lados da equação por $x\,(x-1),$ temos

$|x|\cdot(x-1)-x\cdot|x-1|=0\;\;\;\;\mathbf{(i)}$


Da definição de módulo tiramos que

$|x|=\left\{ \begin{array}{cl} x,&\text{ se }x>0\\ \\ -x,&\text{ se }x<0 \end{array} \right.\\ \\ \\ \\ |x-1|=\left\{ \begin{array}{cl} x-1,&\text{ se }x>1\\ \\ 1-x,&\text{ se }x<1 \end{array} \right.$


Os módulos acima mudam de sentença quando $x=0$ e $x=1.$ Para facilitar o nosso trabalho, vamos reescrever as duas igualdades acima para $x<0,$ $0<x <1,$ e $x>1:$

$|x|=\left\{ \begin{array}{cl} -x,&\text{ se }x<0\\ \\ x,&\text{ se }0<x<1\\ \\ x,&\text{ se }x>1 \end{array} \right.\\ \\ \\ \\ |x-1|=\left\{ \begin{array}{cl} 1-x,&\text{ se }x<0\\ \\ 1-x,&\text{ se }0<x<1\\ \\ x-1,&\text{ se }x>1 \end{array} \right.$


Agora, vamos analsar a equação $\mathbf{(i)}$ para cada um dos três casos:

$\bullet\;\;$ Caso 1. $x<0:$

$|x|\cdot(x-1)-x\cdot|x-1|=0\\ \\ (-x)\cdot(x-1)-x\cdot (1-x)=0\\ \\ -x\cdot(x-1)-x\cdot (1-x)=0\\ \\ x\cdot(1-x)-x\cdot (1-x)=0\\ \\ 0=0$


A igualdade acima é verdadeira para qualquer valor de $x \in (-\infty;\,0).$ Logo, a solução para o caso 1 é

$S_{1}=(-\infty;\,0)$


$\bullet\;\;$ Caso 2. $0<x<1:$

$|x|\cdot(x-1)-x\cdot|x-1|=0\\ \\ x\cdot (x-1)-x\cdot (1-x)=0\\ \\ x\cdot [(x-1)-(1-x)]=0\\ \\ x\cdot [x-1-1+x]=0\\ \\ x\cdot (2x-2)=0\\ \\ 2x\,(x-1)=0\\ \\ x\cdot (x-1)=0\\ \\ x=0\;\;\text{ ou }\;\;x-1=0\\ \\ x=0\text{ (n\~{a}o serve)}\;\;\text{ ou }\;\;x=1\text{ (n\~{a}o serve)}$


As soluções encontradas não satisfazem as condições de existência. Logo, o conjunto solução para o caso 2 é vazio:

$S_{2}=\varnothing$


$\bullet\;\;$ Caso 3. $x>1:$

$|x|\cdot(x-1)-x\cdot|x-1|=0\\ \\ x\cdot (x-1)-x\cdot (x-1)=0\\ \\ 0=0$

A igualdade acima é verdadeira para todo $x \in (1; +\infty).$ Logo, o conjunto solução para o caso 3 é

$S_{3}=(1;\, +\infty)$


A solução da equação original é a união das soluções para cada caso:

$S=S_{1}\cup S_{2}\cup S_{3}\\ \\ S=(-\infty;\,0)\cup \varnothing\cup (1;\,+\infty)\\ \\ S=(-\infty;\,0)\cup (1;\,+\infty)$

ou utilizando a notação usual

$S=\{x \in \mathbb{R}\left|\,x<0\;\text{ ou }\;x>1\right.\}$