Question

Qual o conjunto solução desta inequação??

Answer 1

$2^{x^{2}-1}\leq \dfrac{4}{\sqrt{2^{x}}}\\ \\ \\ 2^{x^{2}-1}\leq \dfrac{4}{(2^{x})^{1/2}}\\ \\ \\ 2^{x^{2}-1}\leq \dfrac{4}{2^{x/2}}\\ \\ \\ 2^{x^{2}-1}\leq \dfrac{2^{2}}{2^{x/2}}\\ \\ \\ 2^{x^{2}-1}\leq 2^{2-(x/2)}$


Temos uma desigualdade entre exponenciais de mesma base. Como a base é $2>1,$ o sentido da desigualdade se mantém para os expoentes:

$x^{2}-1\leq 2-\dfrac{x}{2}\\ \\ \\ x^{2}-1\leq \dfrac{4}{2}-\dfrac{x}{2}\\ \\ \\ x^{2}-1\leq \dfrac{4-x}{2}$


Multiplicando os dois lados da desigualdade acima por $2,$ temos

$2\cdot (x^{2}-1)\leq \diagup\!\!\!\! 2\cdot \dfrac{4-x}{\diagup\!\!\!\! 2}\\ \\ 2x^{2}-2\leq 4-x\\ \\ 2x^{2}+x-2-4\leq 0\\ \\ 2x^{2}+x-6\leq 0$


Agora, temos que encontrar as raízes do polinômio do lado esquerdo. Como é um polinômio do segundo grau, podemos usar a fórmula de Báscara ou qualquer outro método. Vou utilizar fatoração por agrupamento.


Podemos reescrever $x$ como $+4x-3x:$

$2x^{2}+4x-3x-6\leq 0\\ \\ 2x\,(x+2)-3\,(x+2)\leq 0$


Colocando o fator comum $(x+2)$ em evidência, temos

$(x+2)(2x-3)\leq 0$


Logo, as raízes do lado esquerdo são:

$\begin{array}{lcl} x_{1}+2=0&~\Rightarrow~&x_{1}=-2\\ \\ 2x_{2}-3=0&~\Rightarrow~&x_{2}=\frac{3}{2} \end{array}$


Queremos os valores que tornam o polinômio do lado esquerdo menor ou igual que zero. Logo, devemos ter

$x_{1}\leq x\leq x_{2}\\ \\ -2\leq x\leq \frac{3}{2}$


$\bullet\;\;$ O conjunto solução para esta inequação é

$S=\left\{x \in \mathbb{R}\left|\,-2\leq x\leq \frac{3}{2}\right. \right \}$


ou usando a notação de intervalos,

$S=\left[-2,\;\frac{3}{2} \right ].$