Question

Qual o conjunto solução da inequação logarítmica abaixo?

Opções de Respostas:
1- S = {x ∈ R | - 2 < x < 3}
2- S = {x ∈ R | - 2 ≤ x ≤ 3}
3- S = {x ∈ R | - 3 ≤ x ≤ 2}
4- S = {x ∈ R | - 3 < x < 2}

Answer 1

Caso esteja pelo app, e tenha problemas para visualizar esta resposta, experimente abrir pelo navegador https://brainly.com.br/tarefa/38872656

                                             

$\boxed{\begin{array}{l}\sf se~a~base~\acute e~maior~que~1\longrightarrow desigualdade~se~conserva\\\sf se~a~base~est\acute a~entre~0~e~1\longrightarrow desigualdade~se~inverte\\\sf a~soluc_{\!\!,}\tilde ao~da~inequac_{\!\!,}\tilde ao~logar\acute itmica~depende\\\sf das~condic_{\!\!,}\tilde oes~de~exist\hat encia.\end{array}}$

$\boxed{\begin{array}{l}\underline{\rm condic_{\!\!,}\tilde ao~de~exist\hat encia:}\\\sf x^2+x>0\\\sf seja~f(x)=x^2+x\\\sf vamos~encontrar~as~ra\acute izes:\\\sf x^2+x=0\\\sf x\cdot(x+1)=0\\\sf x=0\\\sf x+1=0\\\sf x=-1\\\sf fazendo~o~estudo~do~sinal~temos: f(x)>0~para~x<-1~ou~x>0\\\sf f(x)<0~se~-1<x<0\\\sf como~queremos~f(x)>0\\\sf a~condic_{\!\!,}\tilde ao~de~exist\hat encia~\acute e: C.E=\{ x\in\mathbb{R}/x<-1~ou~x>0\}\end{array}}$

$\boxed{\begin{array}{l}\sf satisfeitas~as~condic_{\!\!,}\tilde oes~de~exist\hat encia,\\\sf vamos~resolver~a~inequac_{\!\!,}\tilde ao~proposta.\\\sf\ell og_2(x^2+x)<\ell og_26\\\sf note~que~a~base~\acute e~maior~que~1. a~igualdade~portanto~ser\acute a\\\sf mantida.\\\sf x^2+x<6\\\sf x^2+x-6<0.\\\sf seja~ g(x)=x^2+x-6.\\\sf vamos~encontrar~as~ra\acute izes:\end{array}}$

$\boxed{\begin{array}{l}\sf x^2+x-6=0\\\sf\Delta=b^2-4ac\\\sf\Delta=1^2-4\cdot1\cdot(-6)\\\sf\Delta=1+24\\\sf\Delta=25\\\sf x=\dfrac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}\\\sf x=\dfrac{-1\pm\sqrt{25}}{2\cdot1}\\\sf x=\dfrac{-1\pm5}{2}\begin{cases}\sf x_1=\dfrac{-1+5}{2}=\dfrac{4}{2}=2\\\sf x_2=\dfrac{-1-5}{2}=-\dfrac{6}{2}=-3\\\sf \end{cases}\\\sf fazendo~o~estudo~do~sinal~temos:\\\sf g(x)>0~se~x<-3~ou~x>2\\\sf g(x)<0~se~-3<x<2.\end{array}}$

$\boxed{\begin{array}{l}\sf como~queremos~g(x)<0\\\sf a~soluc_{\!\!,}\tilde ao~\acute e~-3<x<2.\\\huge\boxed{\boxed{\boxed{\boxed{\sf S=\{x\in\mathbb{R}/-3<x<2\}}}}}\end{array}}$