Question

Qual o conjunto solução da equação √(x² + 3) = x²- 3, sendo U = ℝ?

S = {+-1}
S = {+-√6}
S = {1,6}
S = {+-1,+-√6}
S = {1,+-√6}

Answer 1

Olá!

Para encontrar a solução, vamos desenvolver a equação, sempre visando isolar a variável x:

Desenvolvendo a equação irracional:

$\sf \sqrt{x^2 + 3} = x^2 - 3$

$\sf {\color{Orange} (} \sqrt{x^2 + 3} {\color{Orange} )}^{\color{Orange} 2} = {\color{Orange} (} x^2 - 3 {\color{Orange} )}^{\color{Orange} 2}$

$\sf x^2 + 3 = x^4 - 6x^2 + 9$

$\sf x^4 - 7x^2 + 6 = 0$

→ Agora temos uma equação biquadrada completa. Para resolver, vamos admitir $\sf a = x^2$ e fatorar a equação:

$\sf (x^2)^2 - 7(x^2) + 6 = 0$

$\sf a^2 - 7a + 6 = 0$

$\sf (a - 6)(a - 1) = 0$

→ Devolvendo o valor de $\sf a$, temos:

$\sf (a - 6)(a - 1) = 0$

$\sf (x^2 - 6)(x^2 - 1) = 0$

→ De acordo com a propriedade do produto nulo, as soluções são:

$\sf x^2 - 6 = 0$

$\sf x^2 = 6$

$\fbox{\fbox{ \sf {\color{Red} x_1} = \pm \sqrt{6} }}$

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$\sf x^2 - 1 = 0$

$\sf x^2 = 1$

$\sf x = \pm \sqrt{1}$

$\fbox{\fbox{ \sf {\color{Red} x_2} = \pm 1 }}$

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Testando as soluções:

Como elevamos uma equação irracional ao quadrado, podemos ter criado soluções "extras", ou seja, soluções falsas que aparecem devido à perda da informação do sinal da equação.

Por isso, sempre que elevar uma equação irracional ao quadrado (ou qualquer outro expoente par), confira suas soluções, pois algumas podem não fazer sentido para essa equação.

Vamos testar as soluções: $\sf 1, \, -1, \, \sqrt{6}, \, - \sqrt{6}$

$\sf \sqrt{x^2 + 3} = x^2 - 3$

$\sf \sqrt{1^2 + 3} = 1^2 - 3$

$\sf \sqrt{1 + 3} = 1 - 3$

$\sf \sqrt{4} = - 2$

$\sf 2 = -2$

→ Falso, pois $\sf 2 \neq -2$, logo, "1" não é uma solução para essa equação.

→ Como a variável x aparece uma única vez em ambos os membros e nos dois casos está elevada ao quadrado, podemos admitir que o simétrico de "1" também não é solução, ou seja, "-1" também não é uma solução para essa equação. Isso acontece porque o sinal negativo é sempre neutralizado, pois a variável está elevada a um expoente par.

$\sf \sqrt{x^2 + 3} = x^2 - 3$

$\sf \sqrt{(\sqrt{6})^2 + 3} = (\sqrt{6})^2 - 3$

$\sf \sqrt{6 + 3} = 6 - 3$

$\sf \sqrt{9} = 3$

$\sf 3 = 3$

→ Verdadeiro, logo, "√6" é uma solução para essa equação. Da mesma forma que aconteceu para o "1", o simétrico de "√6" também será uma solução, logo, "-√6" também é uma possível solução para essa equação.

Assim, as soluções são:

$\sf {\color{Red} x} = \pm \sqrt{6}$

Logo, o conjunto solução será:

$\fbox{\fbox{ \sf S = \{ -\sqrt{6}, \, \sqrt{6} \} ~~ ou ~~ S = \{ \pm \sqrt{6} \} }}$

Portanto, alternativa B.

Espero ter ajudado.

Abraços e bons estudos ;-)