Question

Qual o conjunto da solução da inequação de 8 x elevado a 2 - 3x - 5 maior igual a zero

Answer 1

Resposta:

     $S=\left\{x\in\mathbb{R}:~~x\le -\dfrac{5}{8}~~\mathrm{ou}~~x\ge 1\right\}$

ou em notação de intervalos,

     $S=\left(-\infty, \, -\dfrac{5}{8}\right] \cup [1,\,+\infty).$

Explicação passo a passo:

Resolver a inequação quadrática

     $\begin{array}{l} 8x^2-3x-5\ge 0\\\\ \Longleftrightarrow\quad 8x^2-3x\ge 5\end{array}$

Multiplique os dois lados por 8 para facilitar os cálculos:

     $\begin{array}{l}\Longleftrightarrow\quad 8\cdot (8x^2-3x)\ge 8\cdot 5\\\\ \Longleftrightarrow\quad 64x^2-24x\ge 40\end{array}$

Reescreva convenientemente os termos do lado esquerdo para efetuarmos o completamento de quadrados:

     $\begin{array}{l}\Longleftrightarrow\quad (8x)^2-(8x)\cdot 3\ge 40\\\\ \Longleftrightarrow\quad (8x)^2-2\cdot (8x)\cdot \dfrac{3}{2}\ge 40\end{array}$

Adicione $\dfrac{9}{4}=\left(\dfrac{3}{2}\right)^{\! 2}$ a ambos os lados para completar o quadrado no lado esquerdo:

     $\begin{array}{l}\Longleftrightarrow\quad (8x)^2-2\cdot (8x) \cdot \dfrac{3}{2}+\dfrac{9}{4}\ge 40+\dfrac{9}{4}\\\\\\ \Longleftrightarrow\quad (8x)^2-2\cdot (8x)\cdot \dfrac{3}{2}+\left(\dfrac{3}{2}\right)^{\! 2}\ge \dfrac{160+9}{4}\\\\\\ \Longleftrightarrow\quad (8x)^2-2\cdot (8x)\cdot \dfrac{3}{2}+\left(\dfrac{3}{2}\right)^{\! 2}\ge \dfrac{169}{4}\qquad\mathrm{(i)}\end{array}$

Identificamos o lado esquerdo como o quadrado de uma diferença (produtos notáveis):

     $p^2-2pq+q^2=(p-q)^2$

com $p=8x$ e $q=\dfrac{3}{2}.$

Substituindo, a inequação (i) fica

     $\Longleftrightarrow\quad \left(8x-\dfrac{3}{2}\right)^{\! 2}\ge \dfrac{169}{4}$

A desigualdade acima envolve apenas termos não-negativos. Portanto, a desigualdade se mantém para as raízes quadradas dos termos:

     $\begin{array}{l}\Longleftrightarrow\quad \sqrt{\left(8x-\dfrac{3}{2}\right)^{\! 2}}\ge \sqrt{\dfrac{169}{4}}\\\\\\ \Longleftrightarrow\quad \left|8x-\dfrac{3}{2}\right|\ge \dfrac{13}{2}\qquad\mathrm{(ii)}\end{array}$

Atenção! $\sqrt{a^2}=|a|$ (módulo de $a$), para todo $a\in\mathbb{R}.$

Resolvendo a inequação modular, devemos ter então

     $\begin{array}{l}\Longleftrightarrow\quad 8x-\dfrac{3}{2}\le -\dfrac{13}{2}\quad\mathrm{ou}\quad 8x-\dfrac{3}{2}\ge \dfrac{13}{2}\\\\\\ \Longleftrightarrow\quad 8x\le -\dfrac{13}{2}+\dfrac{3}{2} \quad\mathrm{ou}\quad 8x\ge \dfrac{13}{2}+\dfrac{3}{2}\\\\\\ \Longleftrightarrow\quad 8x\le -\dfrac{10}{2}\quad\mathrm{ou}\quad 8x\ge \dfrac{16}{2}\\\\\\ \Longleftrightarrow\quad 8x\le -5\quad\mathrm{ou}\quad 8x\ge 8\\\\ \Longleftrightarrow\quad x\le -\dfrac{5}{8}\quad\mathrm{ou}\quad x\ge \dfrac{8}{8}\end{array}$

     $\Longleftrightarrow\quad x\le -\dfrac{5}{8}\quad\mathrm{ou}\quad x\ge 1$

ou em notação de intervalos,

     $\Longleftrightarrow\quad x\in\left(-\infty, \, -\dfrac{5}{8}\right] \cup [1,\,+\infty).$

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Bons estudos!