Question

Qual o comprimento da corda ab determinada pela circunferˆencia x2 y2−14x 23 = 0 e pela reta r : x−y −1 = 0?.

Answer 1

O valor de AB é

$\Large4\sqrt{2}$

• Mas, como chegamos nesse resultado?

Temos que encontrar  a distancia do ponto A até o ponto B que esta ligado pela equação $x-y-1=0$ e as extremidades estão na circunferência  $x^2+y^2-14x+23=0$

Temos uma equação de uma circunferência e temos uma equação de uma corda que  está ligada a dois ponto da circunferência

Infelizmente nossa equação da circunferência não está completa  temos que completar quadrados  para assim achar o raio e o centro da circunferência

Completando quadrados na equação $x^2+y^2-14x+23=0$

$x^2+y^2-14x+23=0\\\\\\x^2+y^2-14x=-23\\\\\\x^2-(2\cdot 7x)+7^2+y^2+0y+0^2=-23+7^2+0^2\\\\\\\boxed{(x- 7)^2+y^2=26}$

Assim podemos achar o raio é o centro da circunferência

PROPRIEDADES  DA CIRCUFERÊNCIA

• Quando temos uma equação dada da seguinte maneira $(x-x_0)^2+(y-y_0)^2=r^2$  Temos uma circunferência no plano cartesiano

• Para achar o Raio basta tirarmos a raiz quadrada

• o centro é dado por  $(X_0, Y_0)$

Olhando a nova equação da circunferência  $\boxed{(x- 7)^2+y^2=26}$  podemos que  o centro dela é $(7,0)$  e o seu raio vai ser a raiz de 26

$C=(7,0)\\\\R=\sqrt{26}$

(Vou anexar uma figura pra você entender melhor)

Perceba que podemos fazer um triangulo ligando os Ponto A e B ao centro da circunferência ,  e a distancia de cada um deles vai ser o Raio

( Ver imagem)

Se acharmos a altura do triangulo ( ou seja distancia da reta ao centro) conseguimos fazer Pitágoras e consequentemente achar  A distancia dos pontos  A e B

• A altura vai ser metade na metade do comprimento AB

• Distancia entre ponto e reta é dada pela seguinte fórmula

$\Large\text{ \boxed{D=\dfrac{|ax+by+c|}{\sqrt{a^2+b^2} }} }$

Onde:

$X~e~Y = Coordenadas~do~centro\\\\A=Coeficiente~de~X\\\\B=Coeficiente~de~Y\\\\C=Coeficiente~do~termo~indepedente\\\\D=Distancia$

Com isso em mente vamos lá

$x-y-1=0\\\\A=1\\B=-1\\C=-1\\X=7\\Y=0$

$D=\dfrac{|ax+by+c|}{\sqrt{a^2+b^2} }\\\\\\D=\dfrac{|1\cdot7 -1\cdot 0-1|}{\sqrt{1^2+(-1)^2} }\\\\\\D=\dfrac{|6|}{\sqrt{1+1} }\\\\\\D=\dfrac{|6|}{\sqrt{2} }\\\\\\D=\dfrac{6}{\sqrt{2} }\\\\\\\boxed{D=3\sqrt{2} }$

Calma guerreiro está acabando, só falta fazermos Pitágoras e depois multiplicar por 2

• Fórmula de Pitágoras

        $\boxed{a^2=b^2+c^2}$

$a^2=b^2+c^2\\\\\sqrt{26}=(3\sqrt{2})^2+X^2\\\\\\26=18+X^2\\\\X^2=8\\\\X=\sqrt{8} \\\\X=2\sqrt{2}$

Mas $2\sqrt{2}$ é só metade do comprimento de AB precisamos multiplicar por 2 ainda

$AB=2\cdot2\sqrt{2} \\\\\boxed{AB=4\sqrt{2} }$

( Em decimal da 5,66 a resposta)

Como a questão não falou o valor de raiz de 2 podemos deixar assim

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