qual o coeficiente do termo (xy)^4 no desenvolvimento de (x+Y)^8
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Para resolver essa questão, vamos utilizar o triângulo do binômio de Newton.
O binômio de Newton é toda forma igual a (x + y)^a, onde a é um número natural. Para facilitar o desenvolvimento, foi formulado um triângulo que contém os coeficientes de cada termo para cada valor de "a".
Dessa maneira, vamos analisar os coeficientes para a=8:
1, 8, 28, 56, 70, 56, 28, 8, 1
Assim, o binômio (x + y)^8 possui a seguinte forma:
x^(8) + 8*x^(7)*y + 28*x^(6)*y^(2) + 56*x^(5)*y^(3) + 70*x^(4)*y^(4) + 56*x^(3)*y^(5) + 28*x^(2)*y^(6) + 8*x^(1)*y^(7) + y^(8)
Portanto, o coeficiente do termo (x*y)^4 é igual a 70.
O binômio de Newton é toda forma igual a (x + y)^a, onde a é um número natural. Para facilitar o desenvolvimento, foi formulado um triângulo que contém os coeficientes de cada termo para cada valor de "a".
Dessa maneira, vamos analisar os coeficientes para a=8:
1, 8, 28, 56, 70, 56, 28, 8, 1
Assim, o binômio (x + y)^8 possui a seguinte forma:
x^(8) + 8*x^(7)*y + 28*x^(6)*y^(2) + 56*x^(5)*y^(3) + 70*x^(4)*y^(4) + 56*x^(3)*y^(5) + 28*x^(2)*y^(6) + 8*x^(1)*y^(7) + y^(8)
Portanto, o coeficiente do termo (x*y)^4 é igual a 70.
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Resposta:
70
Explicação passo-a-passo:
Se (a + b)^n, o coeficiente do termo em uma posição p + 1 é dado por:
T(p + 1) = bin(n p) . a^(n - p) . b^p
T(p + 1) = bin(8 p) . x^(8 - p) . y^p
Para x^4, temos:
8 - p = 4
p - 8 = - 4
p = 8 - 4
p = 4
T(4 + 1) = bin(8 4) . x^(8 - 4) . y^4
T(4 + 1) = 8!/(4! . 4!) . x^4 . y^4
T(4 + 1) = (8 . 7 . 6 . 5 . 4!)/(3 . 8 . 4!) . (xy)^4
T(4 + 1) = (7 . 2 . 5) . (xy)^4
T(4 + 1) =(7 . 10) . (xy)^4
T(4 + 1) = 70(xy)^4
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