Question

Qual o centro e o raio de uma circunferência que tem equação x² + y² - 2x - 6y - 6 = 0?

Answer 1

Olá, bom dia ◉‿◉.

Temos a seguinte equação geral da circunferência:

$\red{\boxed{x {}^{2} + y {}^{2} - 2x - 6y - 6 = 0}}$

Para encontrar o centro e o raio dessa circunferência vamos fazer algumas comparações com a equação geral da circunferência em sua forma original, sem atribuição de valores.

Temos então que a original é:

$\begin{cases}x {}^{2} + y {}^{2} - 2ax - 2by + k = 0 \\ \\ k = a {}^{2} + b {}^{2} - r {}^{2} \end{cases}$

I) Comparação dos termos -2ax e -2x:

Note que esses dois temos estão na mesma posição nas duas fórmulas, ou seja, ele devem ser iguais o que nos induz a igualá-los:

$- 2ax = - 2x \\ a = \frac{ - 2x}{ - 2x} \\ \boxed{a = 1}$

Encontramos a primeira parte do centro.

II) Comparação dos termos -2by e -6y:

Como na comparação anterior, eles ocupam a mesma posição, o que nos induz a igualar:

$- 2by = - 6y \\ b = \frac{ - 6y}{ - 2y} \\ \boxed{b = 3}$

Encontrado a segunda parte do centro, então temos que o centro é formado pelos valores:

$\boxed{ \huge C = (1,3)}$

III) Comparação do "k" com o "r":

O "k" é a junção do quadrado dos dois valores do centro menos o raio ao quadrado. Sabemos que o valor de "k" é -6 e também temos conhecimento dos valores de "a" e "b", então é só substituir na expressão de "k".

$k = a {}^{2} + b {}^{2} - r {}^{2} \\ - 6 = (1) {}^{2} + (3) {}^{2} - r {}^{2} \\ - 6 = 1 + 9 - r {}^{2} \\ - 6 = 10 - r {}^{2} \\ - 6 - 10 = - r {}^{2} .( - 1) \\ r {}^{2} = 16 \\ r = \sqrt{16} \\ \boxed{r = 4}$

Por fim encontramos o raio:

$\huge \boxed{r = 4}$

Espero ter ajudado

Bons estudos ♥️