Question

Qual o centro e o raio da circunferência x² + y² - 2x - 6y - 15=0

Answer 1

O centro C e o raio r da circunferência pedidos é

$\LargeC=(1,\,3)$     e   $\Larger=5.$

_____

Para resolver esta questão, vamos relembrar alguns conceitos estudados sobre circunferência em geometria analítica.

Seja $\lambda$ uma circunferência de centro $C=(a,\,b)$ e raio $r.$  Um ponto $P=(x,\,y)$ pertence a

$\Large\left(x-a\right)^2+\left(x-b\right)^2=r^2,$

chamada equação reduzida da circunferência.

Quando se desenvolve essa equação, encontra-se a chamada equação geral:

$\Large\begin{aligned}&\left(x-a\right)^2+\left(x-b\right)^2=r^2\\\\&x^2-2ax+a^2+y^2-2by+b^2-r^2=0\\\\&\boxed{x^2+y^2-2ax-2by+a^2+b^2-r^2=0.}\end{aligned}$

Dito isso, vamos à resolução desta questão.

Veja que foi dada uma equação geral de uma circunferência. Para encontrar o centro e o raio podemos fazer a comparação com a equação geral acima.

Veja:

$\Large\begin{gathered}-2a=-2\\\\a=\dfrac{-2}{-2}\\\\\boxed{a=1}\end{gathered}$

e

$\Large\begin{gathered}-2b=-6\\\\b=\dfrac{-6}{-2}\\\\\boxed{b=3.}\end{gathered}$

Desse modo, o centro é $C=(1,\,3).$

Falta calcular o raio. Para isso, note que:

$\Large\begin{aligned}&a^2+b^2-r^2=-15\\\\&1^2+3^2-r^2=-15\\\\&1+9-r^2=-15\\\\&10-r^2=-15\\\\&r^2=10+15\\\\&r^2=25\\\\&r=5\end{aligned}$

Outra forma de resolução

Você pode resolver esta questão usando completamento de quadrados. Observe:

$\Large\begin{aligned}&x^2+y^2-2x-6y-15=0\\\\&x^2-2x+y^2-6y=15\\\\&x^2-2x+1^2+y^2-6y+3^2=15+1^2+3^2\\\\&\left(x-1\right)^2+\left(y-3\right)^2=15+1+9\\\\&\left(x-1\right)^2+\left(y-3\right)^2=25\\\\&\boxed{\left(x-1\right)^2+\left(y-3\right)^2=5^2.}\end{aligned}$

Portanto, o centro é

$\Large\boxed{\boxed{C=(1,\,3)}}$

e o raio é

$\Large\boxed{\boxed{r=5.}}$

Para ver uma questão relacionada, acesse: brainly.com.br/tarefa/47204658.