Matemática, perguntado por edilaineferrari, 10 meses atrás

Qual o centesimo termo da PA a seguir: (3,9,15...)

Soluções para a tarefa

Respondido por josegleilton

Resposta:

a100 = 597

Explicação passo-a-passo:

fórmula

an = am + ( n - m ).r

a3 = a1 + ( 3 - 1 ).r

15 = 3 + 2r

2r = 15 - 3

2r = 12

r = 12/2

r = 6

a100 = a1 + ( 100 - 1 ).r

a100 = 3 + 99 . 6

a100 = 3 + 594

a100 = 597

edilaineferrari: Valeu!

Respondido por viniciusszillo

Olá! Segue a resposta com algumas explicações.

(I)Interpretação dos problemas:

Da sequência (3, 9, 15,...), tem-se:

a)progressão aritmética (P.A.) é uma sequência numérica em que cada termo, à exceção do primeiro, é o resultado do antecessor acrescido (somado) de um valor constante, chamado de razão;

b)primeiro termo (a₁), ou seja, o termo que ocupa a primeira posição:3

c)centésimo termo (a₁₀₀): ?

d)número de termos (n): 100

Justificativa: Embora a PA seja infinita, para o cálculo de um determinado termo, é feito um "corte" nesta PA infinita, de modo a considerar a posição que o termo ocupa (no caso, 100ª), equivalente ao número de termos.

e)Embora não se saiba o valor do centésimo termo, apenas pela observação dos dois primeiros termos da progressão fornecida, pode-se afirmar que a razão será positiva (afinal, os valores dos termos crescem, afastam-se do zero, para a direita, pensando-se na reta numérica e, para que isto aconteça, necessariamente se deve somar um valor constante positivo, a razão, a um termo qualquer) e os termos solicitados igualmente serão maiores que zero.

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(II)Determinação da razão (r) da progressão aritmética:

Observação: A razão (r), valor constante utilizado para a obtenção dos sucessivos termos, será obtida por meio da diferença entre um termo qualquer e seu antecessor imediato.

r = a₂ - a₁ ⇒

r = 9 - 3 ⇒

r = 6 (Razão positiva, conforme prenunciado no item g acima.)

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(III)Aplicação das informações fornecidas pelo problema e da razão acima obtida na fórmula do termo geral (an) da P.A., para obter-se o centésimo termo:

an = a₁ + (n - 1) . r ⇒

a₁₀₀ = a₁ + (n - 1) . (r) ⇒

a₁₀₀ = 3 + (100 - 1) . (6) ⇒

a₁₀₀ = 3 + (99) . (6) ⇒ (Veja a Observação 2.)

a₁₀₀ = 3 + 594 ⇒

a₁₀₀ = 597

Observação 2: Foi aplicada na parte destacada a regra de sinais da multiplicação: dois sinais iguais, +x+ ou -x-, resultam sempre em sinal de positivo (+).

Resposta: O centésimo termo da P.A.(3, 9, 15,...) é 597.

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DEMONSTRAÇÃO (PROVA REAL) DE QUE A RESPOSTA ESTÁ CORRETA

→Substituindo a₁₀₀ = 597 fórmula do termo geral da P.A. e omitindo, por exemplo, o primeiro termo (a₁), verifica-se que o valor correspondente a ele será obtido nos cálculos, confirmando-se que o centésimo termo realmente corresponde ao afirmado:

an = a₁ + (n - 1) . r ⇒

a₁₀₀ = a₁ + (n - 1) . (r) ⇒

597 = a₁ + (100 - 1) . (6) ⇒

597 = a₁ + (99) . (6) ⇒

597 = a₁ + 594 ⇒ (Passa-se 594 ao 1º membro e altera-se o sinal.)

597 - 594 = a₁ ⇒

3 = a₁ ⇔ (O símbolo ⇔ significa "equivale a".)

a₁ = 3 (Provado que a₁₀₀ = 597.)

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