Qual o capital que aplicado no regime de juro simples, por um prazo de 5 anos, com uma taxa de juro de 7% ao semestre, geraria um montante de R$ 100.000,00?
Resolução.
Soluções para a tarefa
Bom dia! Segue a resposta com algumas explicações.
(I)Interpretação do problema:
a)os juros aplicados são simples, ou seja, sempre aplicados em relação ao valor inicial, mês após mês;
b)capital (C) aplicado: ?
c)tempo (t) da aplicação: 5 anos;
d)taxa (i) do juro simples: 7% ao semestre
e)juros (J) decorrentes do investimento: ?
f)montante (M), ou seja, a soma do capital aplicado e dos juros rendidos: R$100000,00
(II)Utilização da fórmula do montante para retirar uma expressão que sirva de base para determinar os juros rendidos:
M = C + J =>
100000 = C + J =>
J = 100000 - C
(II)Levando em consideração as afirmações acima, deve-se aplicá-las na expressão matemática do juro simples:
OBSERVAÇÃO 1: A taxa (i) e o tempo (t) da aplicação devem estar relacionadas a uma mesma unidade de tempo. Nesta questão, verifica-se que i refere-se a semestre e t refere-se a anos, portanto, far-se-á necessário converter as unidades. Assim, convertendo-se para semestre, tem-se:
1 ano ----------- 2 semestres 1 . t = 5 . 2 => t = 10 semestres
5 anos --------- t semestres
OBSERVAÇÃO 2: A taxa (i), ao ser inserida na fórmula, deve ser alterada de 7% para um número decimal, 0,07, ou para uma fração, a saber, 7/100. Na resolução, por questão de facilidade, será considerada a forma fracionária.
J = C . i . t (Substituindo J = 100000 - C na equação.)
100000 - C = C . (7/100) . 10 (Simplificação: dividem-se 10, no numerador, e 100, no denominador, por 10.)
100000 - C = C . (7/10) . 1 =>
100000 - C = 7 . C / 10 (Passa-se o 10 ao primeiro membro e ele irá multiplicar os termos ali existentes.)
10 . (100000 - C) = 35C =>
1000000 - 10C = 7C =>
1000000 = 7C + 10C =>
1000000 = 17C =>
C = 1000000/17 =>
C = 58823,529411... ≅ 58823,53 (Explicação do resultado: o número 58823,529411 é uma dízima periódica, ou seja, um número que apresenta uma sequência que se repete na parte decimal infinitamente. Para torná-lo finito, com apenas duas casas, deve-se observar o algarismo que ocupa a terceira casa. Se ele for maior ou igual a 5, aumenta-se em uma unidade o das segunda posição e ignoram-se os demais e, caso seja menor que 5, mantém o da segunda casa e desconsideram-se os demais. Verifica-se, neste caso, que se trata de 9, maior que 5, razão pela qual o algarismo 2 é aumentado para 3, resultando no valor aproximado 58823,53.)
Resposta: O capital aplicado que geraria um montante de R$100000,00 seria de, aproximadamente, 58823,53.
DEMONSTRAÇÃO (VERIFICAÇÃO) DE QUE A RESPOSTA ESTÁ CORRETA
OBSERVAÇÃO 3: Na verificação, o valor 58823,53 não poderá ser utilizado, por se tratar de um valor aproximado. Caso seja utilizado, o valor em ambos os lados da equação serão ligeiramente diferentes.
-Substituindo J = 100000 - C e C = 1000000/17 na fórmula do juro simples, o resultado nos dois lados da equação será igual, comprovando-se que o valor obtido é o correto:
J = C . i . t =>
100000 - C = C . i . t =>
100000 - (1000000/17) = 1000000/17 . 7/100 . 10 =>
100000 - (1000000/17) = 10000/17 . 7 . 10 =>
100000 - (1000000/17) = 100000 . 7 / 17 =>
100000 - (1000000/17) = 700000/17 =>
1700000/17 - 1000000/17 = 700000/17 =>
700000/17 = 700000/17
Espero haver lhe ajudado e bons estudos!