Question

qual o argumento da expressão abaixo?

z=(1+i)^2/1-i

Answer 1

Olá, boa noite (ﾉ◕ヮ◕)ﾉ*.✧.

Vamos ter que resolver toda essa expressão de forma a deixa o "z" igual a sua forma algébrica (z = a + bi).

$z = \frac{(1 + i) {}^{2} }{1 - i} \\ \\ z = \frac{(1 + i).(1 + i)}{1 - i} \\ \\ z = \frac{1.1 + 1.i +1.i + i.i}{1 - i} \\ \\ z = \frac{1 +2i + i {}^{2} }{1 - i} \\ \\ z = \frac{1 + 2i - 1}{ 1 - i} \\ \\ \boxed{z = \frac{2i}{1 - i} }$

Agora vamos realizar essa divisão de números complexos:

$z = \frac{2i}{1 - i} . \frac{1 + i}{1 + i} \\ \\ z = \frac{2i.(1 + i)}{(1.1 + 1.i - 1.i - i {}^{2}) } \\ \\ z = \frac{2i + 2i {}^{2} }{1 + i - i - ( - 1)} \\ \\ z = \frac{2i + 2.( - 1)}{1 + 1} \\ \\ z = \frac{2i - 2}{2} \\ \\ z = \frac{ \cancel2 .(i - 1)}{ \cancel2} \\ \\ \boxed{z = i - 1}$

Módulo:

O módulo é a distância da origem ao afixo, pode ser calculado através de:

$\rho = \sqrt{a {}^{2} + b {}^{2} }$

a → Parte real;

b → Parte imaginária.

$\rho = \sqrt{ ( - 1) {}^{2} +(1) {}^{2} } \\ \rho = \sqrt{1 + 1} \\ \boxed{\rho = \sqrt{2} }$

Argumento:

O argumento é o ângulo formado em relação ao eixo real (x). Para calculá-lo usamos as fórmulas de cosseno e seno.

$\sin \theta = \frac{b}{ \rho} \\ \\ \cos \theta = \frac{a}{ \rho}$

Substituindo:

$\sin \theta = \frac{1}{ \sqrt{2} } = \frac{1}{ \sqrt{2} } . \frac{ \sqrt{2} }{ \sqrt{2} } = \frac{ \sqrt{2} }{ \sqrt{4} } = \boxed{\frac{ \sqrt{2} }{2} } \\ \\ \cos \theta = \frac{ - 1}{ \sqrt{2} } = \frac{ - 1}{ \sqrt{2} } . \frac{ \sqrt{2} }{ \sqrt{2} } = \frac{ - \sqrt{2} }{ \sqrt{4} } = \boxed{ - \frac{ \sqrt{2} }{2}}$

Para finalizar você deve analisar os ângulos que possuem esses valores ↑. A primeira hipótese é 45°, mas por um motivo essa hipótese está errada, pois o seno 45° é positivo e o cosseno também, então esse não pode ser, outra hipótese é um arco congruo a 45°, para isso devemos analisar os quadrantes:

Seno (positivo) → 1 e 2

Cosseno (positivo → 1 e 4

Com isso podemos notar que o nosso ângulo está no segundo quadrante, agora fica mais fácil pois um arco congruo a 45° que está no segundo quadrante é 135°, portanto esse é o nosso argumento.

$\boxed{ \theta = 135 {}^{ \circ} \: \: ou \: \: \frac{3\pi}{4} }$

Espero ter ajudado

Bons estudos ♥️