Question

Qual número é ímpar e par ao mesmo tempo?

Answer 1

✅ Para responder esta questão devemos provar que não existe um número "n" que seja simultaneamente "par" e "ímpar". Para isso devemos utilizar a técnica "Redução ao absurdo".

Como o conceito de paridade está intrinsicamente ligado ao conjunto dos números inteiros, então vou assumir que o conjunto universo é os inteiros, ou seja:

                            $\Large\displaystyle\begin{gathered}\cup = \mathbb{Z} \end{gathered}$

Supondo, por ABSURDO, que existe um número "n" que seja simultaneamente par e ímpar. Então podemos escreve-los como:

                $\Large\displaystyle\begin{gathered}n = 2\kappa,\:\:\:\forall\kappa\in\mathbb{Z} \end{gathered}$

e:

             $\Large\displaystyle\begin{gathered}n = 2\ell + 1,\:\:\:\forall\ell\in\mathbb{Z} \end{gathered}$

Desta forma, teríamos:

$\Large\displaystyle\begin{gathered}\bf(I) \end{gathered}$                         $\Large\displaystyle\begin{gathered} n = n\end{gathered}$

                           $\Large\displaystyle\begin{gathered}2\kappa = 2\ell + 1 \end{gathered}$

                 $\Large\displaystyle\begin{gathered}2\kappa - 2\ell = 1 \end{gathered}$

               $\Large\displaystyle\begin{gathered}2(\kappa - \ell) = 1 \end{gathered}$

$\Large\displaystyle\begin{gathered}\bf(II) \end{gathered}$               $\Large\displaystyle\begin{gathered}\kappa - \ell = \frac{1}{2} \end{gathered}$

Observe que o segundo membro da equação "II" é um absurdo. Pois, como a paridade é definida no conjunto dos números inteiros, jamais a diferença...

                            $\Large\displaystyle\begin{gathered}\kappa - \ell \end{gathered}$

...produzirá o número racional...

                                $\Large\displaystyle\begin{gathered}\frac{1}{2} \end{gathered}$

Sabendo que a diferença entre dois números inteiros sempre produz um número também inteiro, porque o desenvolvimento algébrico da equação "I", chegou à equação "II" produzindo um número racional?

Resposta: A conclusão da equação "II" se deve ao fato de termos afirmado, ABSURDAMENTE, que um possível número par fosse igual a um possível número ímpar. Isto, de fato ocorreu, quando dissemos que:

                      $\Large\displaystyle\begin{gathered}2\kappa = 2\ell + 1 \end{gathered}$

       

✅ Portanto, está provado que jamais existirá um número inteiro simultaneamente par e ímpar.

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Answer 2

Resposta:✅ Para responder esta questão devemos provar que não existe um número "n" que seja simultaneamente "par" e "ímpar". Para isso devemos utilizar a técnica "Redução ao absurdo".

Como o conceito de paridade está intrinsicamente ligado ao conjunto dos números inteiros, então vou assumir que o conjunto universo é os inteiros, ou seja:

                           

Supondo, por ABSURDO, que existe um número "n" que seja simultaneamente par e ímpar. Então podemos escreve-los como:

               

e:

           

Desta forma, teríamos:

                       

                         

               

             

             

Observe que o segundo membro da equação "II" é um absurdo. Pois, como a paridade é definida no conjunto dos números inteiros, jamais a diferença...

                           

...produzirá o número racional...

                               

Sabendo que a diferença entre dois números inteiros sempre produz um número também inteiro, porque o desenvolvimento algébrico da equação "I", chegou à equação "II" produzindo um número racional?

Resposta: A conclusão da equação "II" se deve ao fato de termos afirmado, ABSURDAMENTE, que um possível número par fosse igual a um possível número ímpar. Isto, de fato ocorreu, quando dissemos que:

                     

     

✅ Portanto, está provado que jamais existirá um número inteiro simultaneamente par e ímpar.

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