Question

Qual maior valor possível para o máximo divisor comum de dois números naturais cujo produto é 6000?

Answer 1

Vamos lá.

Veja, Gmelon, que a resolução é mais ou menos simples, porém um pouco trabalhosa. 
Vamos tentar fazer tudo passo a passo para um melhor entendimento. 

i) Pede-se o maior valor possível entre dois números naturais cujo produto seja igual a 6.000.

ii) Veja: antes vamos fatorar 6.000 pra saber quantos divisores tem. Fazendo isso, teremos:

6.000 | 2 
3.000 | 2 
.1.500 | 2 
....750 | 2 
...375 | 3
...125 | 5 
....25 | 5 
......5 | 5 
......1 |

Agora note que 6.000, quando fatorado, encontramos: 2⁴ * 3¹ * 5³.
Para saber o número de divisores basta que somemos "1" unidade a cada expoente e depois façamos a multiplicação entre eles. Assim, somaremos "1" unidade ao expoente "4", ficando (4+1 = 5); somamos "1' unidade ao expoente "1", ficando (1+1 = 2); e finalmente, somamos "1' unidade ao expoente "3", ficando (3+1 = 4). Agora faremos a multiplicação entre os expoentes somados como fizemos acima. Logo: 

5*2*4 = 40 divisores. Ou seja, o número 6.000 tem 40 divisores. 
E esses divisores serão estes, veja (ao multiplicarmos cada divisor por um número tem que dar resultado de 6.000): 

1*6.000; 2*3.000; 3*2.000; 4*1.500; 5*1.200; 6*1.000; 8*750; 10*600; 12*500; 15*400; 16*375; 20*300; 24*250; 25*240; 30*200; 40*150; 48*125; 50*120; 60*100; 75*80; 80*75; 100*60; 120*50; 125*48; 150*40; 200*30; 240*25; 250*24; 300*20; 375*16; 400*15; 500*12; 600*10; 750*8; 1.000*6; 1.200*5; 1.500*4; 2.000*3; 3.000*2; e 6.000*1.

Mas veja: só deveremos tomar dois desses números em que um seja múltiplo do outro, pois quando não há um múltiplo do outro o MDC é igual a "1", ou, no máximo igual a um divisor comum entre eles e nunca será maior que o menor desses números. E os números em que o segundo número é múltiplo do outro são apenas estes: 1*6.000; 2*3.000; 4*1.500; 5*1.200; 10*600; 20*300. Note que teremos esses mesmos produtos, mas repetindo o que já fizemos acima (pois note que, lá para o final vamos ter: 300*20; 600*10; 1.200*5; 1.500*4; 3.000*2; e 6.000*1). 

Note também que não adianta tomar os números menores, pois o MDC será, no máximo igual ao primeiro número (e NUNCA maior, como já explicamos antes). Por exemplo: entre 2 e 3.000 o MDC é igual a "2"; entre "4" e 1.500 o MDC é "4". Então vamos tomar apenas aqueles números maiores, digamos entre 20 e 300. E como 300 é múltiplo de 20, segue-se que o MDC entre 20 e 300 é exatamente igual a "20", que será o maior MDC possível entre dois números naturais cujo produto seja igual a 6.000. Note que no produto 20*300, em que o número maior é múltiplo de menor só aparece em "20*300". Daí segue-se que o maior MDC possível será 20.

Assim, resumindo, temos que o maior MDC possível entre dois naturais cujo produto dê igual a 6.000 , será: 

20 <--- Esta é a resposta. Ou seja, este é o maior MDC possível entre dois números naturais cujo produto dê igual a 6.000 (note que esses dois naturais serão o "20" e o "300", pois 20*300 = 6.000).

É isso aí. 
Deu pra entender bem?

OK?
Adjemir.