Question

qual limite quando x tende a 1 raiz x²-3x+3 - raiz x²+3x-3 sobre x²-3x+2

Answer 1

Calcular o limite da função

     $\lim\limits_{x\to 1}\dfrac{\sqrt{x^2-3x+3}-\sqrt{x^2+3x-3}}{x^2-3x+2}$


Multiplique e divida pelo conjugado do numerador, que é  $(\sqrt{x^2-3x+3}+\sqrt{x^2+3x-3}):$

     $=\lim\limits_{x\to 1}\dfrac{(\sqrt{x^2-3x+3}-\sqrt{x^2+3x-3})\cdot(\sqrt{x^2-3x+3}+\sqrt{x^2+3x-3})}{(x^2-3x+2)\cdot(\sqrt{x^2-3x+3}+\sqrt{x^2+3x-3})}$


Expanda o produto da soma pela diferença que aparece no numerador, usando produtos notáveis:

     $\displaystyle=\lim_{x\to 1}\frac{(\sqrt{x^2-3x+3})^2-(\sqrt{x^2+3x-3})^2}{(x^2-3x+2)\cdot(\sqrt{x^2-3x+3}+\sqrt{x^2+3x-3})}\\\\\\ =\lim_{x\to 1}\frac{(x^2-3x+3)-(x^2+3x-3)}{(x^2-3x+2)\cdot(\sqrt{x^2-3x+3}+\sqrt{x^2+3x-3})}\\\\\\ =\lim_{x\to 1}\frac{x^2-3x+3-x^2-3x+3}{(x^2-3x+2)\cdot(\sqrt{x^2-3x+3}+\sqrt{x^2+3x-3})}\\\\\\ =\lim_{x\to 1}\frac{-6x+6}{(x^2-3x+2)\cdot(\sqrt{x^2-3x+3}+\sqrt{x^2+3x-3})}\\\\\\ =\lim_{x\to 1}\frac{-6(x-1)}{(x^2-3x+2)\cdot(\sqrt{x^2-3x+3}+\sqrt{x^2+3x-3})}$


Fatore o polinômio  x² − 3x + 2  que aparece no denominador.  Se  x = 1  é raiz deste polinômio, então este é divisível por  (x − 1):

     $\displaystyle=\lim_{x\to 1}\frac{-6(x-1)}{(x-1)(x-2)\cdot(\sqrt{x^2-3x+3}+\sqrt{x^2+3x-3})}$


Simplifique o fator comum  (x − 1):

     $\displaystyle=\lim_{x\to 1}\frac{-6}{(x-2)\cdot(\sqrt{x^2-3x+3}+\sqrt{x^2+3x-3})}\\\\\\ =\frac{-6}{(1-2)\cdot(\sqrt{1^2-3\cdot 1+3}+\sqrt{1^2+3\cdot 1-3})}\\\\\\ =\frac{-6}{(-1)\cdot(\sqrt{1-3+3}+\sqrt{1+3-3})}\\\\\\ =\frac{-6}{(-1)\cdot(\sqrt{1}+\sqrt{1})}\\\\\\ =\frac{-6}{(-1)\cdot(1+1)}\\\\\\ =\frac{-6}{(-1)\cdot 2}\\\\\\ =\frac{-6}{-2}$

     $=3$    <————    esta é a resposta.


Bons estudos! :-)