Matemática, perguntado por xanxanbento, 7 meses atrás

qual integral x.cos(5x)dx

Soluções para a tarefa

Respondido por MuriloAnswersGD

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$\Large \sf S = x \in \mathbb{R} \bigg( \sf \dfrac{x sen(5x)}{5} + \dfrac{cos(5x)}{25} + C \bigg)$

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Temos uma:

Integral Trigonométrica

Resolucionando a integral por partes. Esse tipo de resolução tem uso da seguinte fórmula:

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$\: \: \: \: \: \: \huge\boxed{ \boxed{ \sf\displaystyle\int \sf udv = uv -\sf\displaystyle\int \sf vdu }}$

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Então vamos começar a cálcular nossa integral. Temos a integral de x.cos(5x), aplicamos aquela Propriedade em que:

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$\: \: \: \: \: \huge \boxed{ \boxed{ \: \displaystyle\int \cos(kx) = \dfrac{1}{k} }}$

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Logo:

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$\: \: \: \: \: \huge \boxed{ \boxed{ \: \displaystyle\int \cos(5x) = \dfrac{1}{5} }}$

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Vamos Derivar Cos(5x) pois dv = Cos(5x), sabemos que a Derivada Cos = Sen, logo dv = Cos (5x) em relação a x será Sen(5x)

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$\: \: \: \: \: \begin{array}{c} \large\boxed{ \begin{array}{}\boxed{ \begin{array}{}\sf \: u = x \\ \sf dv = cos(5x) \end{array}} \\ \\ = \bigg( \sf \: x \cdot \dfrac{1 sen(5x)}{5} \bigg) - \displaystyle\int \sf\dfrac{1sen(5x)}{5}dx \\ \: \end{array}} \end{array}$

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Visto que em um integral Dx, não calcula números reais, então vamos mover aquela fração que aplicamos na Propriedade de cos kx, para fora da integral e fazer e aplicar a formula com Du

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$\Large = \bigg( \sf \: x \cdot \dfrac{1 sen(5x)}{5} \bigg) - \displaystyle\int \sf\dfrac{1sen(5x)}{5}dx \\ \\ \Large = \bigg( \sf \: x \cdot \dfrac{1 sen(5x)}{5} \bigg) - \bigg( \dfrac{1}{5} \displaystyle\int \sf \: sen(5x)dx \bigg)$

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Agora é aí que entra nossa Substituição por Du. Vamos fazer a derivida de uns termos, Veja Abaixo

Dv > 5x = 5

Dv > Sen (5x) = -cos(5x)

Sabendo disso Veja Cálculo Abaixo

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$\: \: \: \: \: \Large \begin{array}{c} \boxed{ \begin{array}{} \\ = \sf \dfrac{x sen(5x)}{5} - \bigg( \dfrac{1}{5} \displaystyle\int \sf \: sen(u)du \bigg) \\ \\ = \sf \dfrac{x sen(5x)}{5} \Rightarrow \dfrac{1}{5} = cos(5x) \\ \\ = \sf \dfrac{x sen(5x)}{5} - \dfrac{1}{5} \bigg( \dfrac{1}{5} \displaystyle\int \sf \: sen(u)du \bigg) \\ \\ = \sf \dfrac{x sen(5x)}{5} - \dfrac{1}{5} \cdot \: \dfrac{1}{5} \displaystyle\int \sf \: sen(u)du \\ \\ = \sf \dfrac{x sen(5x)}{5} - \dfrac{1}{25} \displaystyle\int \sf \: sen(u)du \\ \: \end{array}} \end{array}$

Vamos Substituir u por 5x, tirar a integral de Sen e finalizar a questão

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$\: \: \: \: \: \Large \begin{array}{c} \boxed{ \begin{array}{} \\= \sf \dfrac{x sen(5x)}{5} - \dfrac{1}{25} \displaystyle\int \sf \: sen(u)du \\ \\ = \sf \dfrac{x sen(5x)}{5} - \dfrac{1}{25} \displaystyle\int \sf \: sen(5x)du \\ \\ = \sf \dfrac{x sen(5x)}{5} - \dfrac{1}{25} \sf \: - cos(5x) + C\\ \\ = \sf \dfrac{x sen(5x)}{5} + \dfrac{cos(5x)}{25} + C \\ \: \end{array}} \end{array}$