Question

Qual grafico da função
y= -x3+3x-5

Answer 1

Fazemos

y = f(x) = -x³ + 3x - 5

Derivamos f para analisar de é crescente ou decrescente:

f '(x) = -3x² + 3

O estudo do sinal mostra que f'(x) é positiva entre -1 e 1, logo, f cresce no intervalo [-1,1], e nos outros ela é decrescente.

Calculamos a segunda derivada: d²y/dx²

f '' (x) = -6x

f'' mostra a concavidade; Para cima, se for positiva ou para baixo, se negativa. f'' É positiva se x < 0, logo, tem concavidade para cima. Se x>0, f''(x) < 0 e a concavidade é para baixo.

Agora, com f'(x), se igualarmos a zero, teremos nossos pontos críticos:

-3x² + 3 = 0
3x² = 3
x = ± 1

A função tem pontos críticos em ±1, que podem ser pontos de máximo ou mínimo local. Para saber, analisamos o seguinte: Se a função for crescente(decrescente) no valor dado à esquerda e decrescente(crescente) à direita, teremos um máximo(mínimo) local. Já sabemos que f'(x) é decrescente até -1(derivada negativa) e crescente entre -1 e 1, logo, -1 é mínimo local. De modo análogo, 1 é máximo local.

Analisamos f''(x) = -6x; Igualamos a zero para encontrar os pontos de inflexão: -6x = 0 ⇔ x = 0, logo, a função tem ponto de inflexão(troca de concavidade) em x = 0;

Se calcularmos os limites tendendo a ±∞, teremos que para x positivo no infinito, o limite é -∞(coloque x³ em evidência em f(x) e conclua isso), do mesmo modo, para x 'no infinito' negativo, o limite é +∞;

Calculamos f(0), f(-1) e f(1) Como pontos de controle: f(0) = - 5, f(-1) = -7, f(1) = -3

E podemos traçar a função:

Vai decrescente de -∞ a -1, onde tem o mínimo -7, depois vai até (0,-5), crescente, onde tem inflexão, vai até 1, ainda crescente, onde tem um máximo, e depois fica decrescente até o infinito.