qual éa história do triângulo retângulo??
Soluções para a tarefa
Resposta:Um triângulo retângulo, em geometria, é um triângulo em que um dos ângulos é reto (ou seja, um ângulo de 90 graus). A relação entre os lados e os ângulos de um triângulo retângulo é a base da trigonometria.
O lado oposto ao ângulo reto é chamado de hipotenusa (lado {\displaystyle c}c na figura). Os lados adjacentes ao ângulo reto são chamados de catetos. O lado {\displaystyle a}a pode ser identificado como o lado adjacente ao ângulo {\displaystyle {\widehat {B}}}\widehat{B} e oposto ao ângulo {\displaystyle {\widehat {A}}}\widehat{A}, enquanto o lado {\displaystyle b}b é o lado adjacente ao ângulo {\displaystyle {\widehat {A}}}\widehat{A} e oposto ao ângulo {\displaystyle {\widehat {B}}}\widehat{B}.
Se os comprimentos dos três lados de um triângulo retângulo são inteiros, o triângulo é considerado um triângulo pitagórico e seus comprimentos laterais são coletivamente conhecidos como um triplo pitagórico.Área
Como em qualquer triângulo, a área é igual à metade da base multiplicada pela altura correspondente. Em um triângulo retângulo, se um cateto é tomado como base, a outro é a altura; portanto, a área de um triângulo retângulo é metade do produto dos dois catetos. Como fórmula, a área {\displaystyle T}T é
{\displaystyle T={\tfrac {1}{2}}ab}{\displaystyle T={\tfrac {1}{2}}ab}
onde {\displaystyle a}a e {\displaystyle b}b são os catetos do triângulo.
Se o círculo inscrito for tangente à hipotenusa {\displaystyle {\overline {AB}}}\overline{AB} no ponto {\displaystyle P}P, denotando o semiperímetro {\displaystyle {(a+b+c) \over 2}}{\displaystyle {(a+b+c) \over 2}} como {\displaystyle s}s, teremos {\displaystyle PA=s-a}{\displaystyle PA=s-a} e {\displaystyle PB=s-b}{\displaystyle PB=s-b}, e a área será dada por
{\displaystyle T={\text{PA}}\cdot {\text{PB}}=(s-a)(s-b).}{\displaystyle T={\text{PA}}\cdot {\text{PB}}=(s-a)(s-b).}
Esta fórmula se aplica apenas a triângulos retângulos.[1]
Alturas
Altura de um triângulo retângulo
Se uma altura é traçada a partir do vértice com o ângulo reto em relação à hipotenusa, o triângulo é dividido em dois triângulos menores que são semelhantes ao original e, portanto, um ao outro. Disto:
A altura da hipotenusa é a média geométrica (média proporcional) dos dois segmentos da hipotenusa.[2]:243
Cada cateto do triângulo é a média proporcional da hipotenusa e o segmento da hipotenusa adjacente ao cateto.
Em equações,
{\displaystyle \displaystyle f^{2}=de}{\displaystyle \displaystyle f^{2}=de} (isso às vezes é conhecido como o teorema da média geométrica)
{\displaystyle \displaystyle b^{2}=ce}{\displaystyle \displaystyle b^{2}=ce}
{\displaystyle \displaystyle a^{2}=cd}{\displaystyle \displaystyle a^{2}=cd}
onde {\displaystyle a}a, {\displaystyle b}b, {\displaystyle c}c, {\displaystyle d}d, {\displaystyle e}e, {\displaystyle f}f são mostrados no diagrama.[3] Portanto
{\displaystyle f={\frac {ab}{c}}}{\displaystyle f={\frac {ab}{c}}}
Além disso, a altura da hipotenusa está relacionada aos catetos do triângulo retângulo por[4][5]
{\displaystyle {\frac {1}{a^{2}}}+{\frac {1}{b^{2}}}={\frac {1}{f^{2}}}}{\displaystyle {\frac {1}{a^{2}}}+{\frac {1}{b^{2}}}={\frac {1}{f^{2}}}}
A altitude de um dos catetos coincide com a do outro. Como eles se cruzam no vértice em ângulo reto, o ortocentro do triângulo retângulo — a interseção de suas três alturas — coincide com o vértice em ângulo reto.
Teorema de Pitágoras
Ver artigo principal: Teorema de Pitágoras
O teorema pitagórico afirma que:
Em qualquer triângulo retângulo, a área do quadrado cujo lado é a hipotenusa (o lado oposto ao ângulo reto) é igual à soma das áreas dos quadrados cujos lados são os dois catetos (os dois lados que se encontram em ângulo reto).
Isso pode ser afirmado na forma de equação como
{\displaystyle \displaystyle a^{2}+b^{2}=c^{2}}{\displaystyle \displaystyle a^{2}+b^{2}=c^{2}}
onde {\displaystyle c}c é o comprimento da hipotenusa e {\displaystyle a}a e {\displaystyle b}b são os comprimentos dos dois lados restantes.
Os triplos pitagóricos são valores inteiros de {\displaystyle a}a, {\displaystyle b}b, {\displaystyle c}c que satisfazem esta equação.
Inraio e circunraio
Ilustração do teorema pitagórico
O raio do círculo inscrito em um triângulo retângulo com os catetos {\displaystyle a}a e {\displaystyle b}b e hipotenusa {\displaystyle c}c é
{\displaystyle r={\frac {a+b-c}{2}}={\frac {ab}{a+b+c}}}{\displaystyle r={\frac {a+b-c}{2}}={\frac {ab}{a+b+c}}}
O raio do círculo circunscrito é a metade do comprimento da hipotenusa,
{\displaystyle R={\frac {c}{2}}}{\displaystyle R={\frac {c}{2}}}
Assim, a soma do circunraio e do inraio é a metade da soma dos catetos:[6]
{\displaystyle R+r={\frac {a+b}{2}}}{\displaystyle R+r={\frac {a+b}{2}}}
Um dos catetos pode ser expresso em relação ao inraio e o outro cateto como
{\displaystyle \displaystyle a={\frac {2r(b-r)}{b-2r}}}{\displaystyle \displaystyle a={\frac {2r(b-r)}{b-2r}}}
Explicação passo-a-passo: