Question

Qual é o volume do tetraedro limitado pelo plano 3x+2y-4z-12=0e pelos planos coordenados?

Answer 1

$\mathsf{3x+2y-4z-12=0}$


A altura do tetraedro é igual ao módulo da coordenada y quando x e z são iguais a zero.

$\mathsf{3\cdot 0+2y-4\cdot 0-12=0}\\\\ \mathsf{2y-12=0}\\\\ \mathsf{2y=12}\\\\ \mathsf{y=6}$


Quando x e y são iguais a 0 podemos encontrar o valor de z, o módulo desse valor será igual a um dos lados do triângulo que compõe a base

$\mathsf{3\cdot 0+2\cdot 0-4z-12=0}\\\\ \mathsf{-4z-12=0}\\\\ \mathsf{-4z=12}\\\\ \mathsf{z=-3}$


E quando y e z forem iguais a zero, o módulo de x corresponderá ao outro lado da base

$\mathsf{3x+2\cdot 0-4\cdot 0-12=0}\\\\ \mathsf{3x-12=0}\\\\ \mathsf{3x=12}\\\\ \mathsf{x=4}$

__________


Com isso podemos calcular a área da base do tetraedro e depois o seu volume

$\mathsf{Ab=\dfrac {4\cdot 3}{2}}\\\\\\ \mathsf{Ab=6\ u.a.}$


Calculando o volume

$\mathsf{V=\dfrac{B\cdot H}{3}}\\\\\\ \mathsf{V=\dfrac{6\cdot 6}{3}}\\\\\\ \boxed{\mathsf{V=12\ u.v.}}$


Bons estudos! =)