Question

Qual é o volume do tetraedro limitado pelo plano 3x + 2y - 4z - 12 = 0 e pelos planos coordenados?

Answer 1

.para obter o volume desse tetraedro é necessário definir quatro pontos que serão os vértices desse tetraedro. portanto pode-se pegar a origem do sistema de eixos coordenados e definir outros três pontos (um em cada eixo) para satisfazer a condição da questão, dessa forma podemos fazer:
pegando a equação do plano, para definir um ponto no eixo X, fazemos Y=0 e Z=0 teremos 3X+2×0-4×0-12=0
3X=12
X=12/3=4
logo um ponto será (4,0,0)

para definir um ponto no eixo Y fazemos X=0 e Z=0
de forma análoga teremos 2Y=12
Y=12/2=6
o ponto será (0,6,0)

para definir um ponto no eixo Z fazemos x=0 e y=0 temos então -4z=12
z=12/-4= -3. ponto (0,0,-3)

temos até aqui os pontos

A(4,0,0) eixo X
B(0,6,0 eixo Y
C(0,0,-3) eixo Z
D(0,0,0) origem do sistema coordenado

agora fazemos A-D =(4-0,0-0,0-0)= (4,0,0)
de forma análoga B-D = (0,6,0) e C-D=(0,0,-3)

o próximo passo é aplicar o determinante desses três pontos (conforme figura em anexo) o resultado é dado em modulo. o resultado é |-72| porém essa é a medida do paralelepípedo para encontrar a medida do tetraedro tiramos o módulo e dividimos por 6, assim: 72/6= 12
logo o tetraedro tem 12 unidades de volume