Question

Qual é o vigésimo termo da progressão geométrica ( √2/2, 1, √2)?​

Answer 1

Resposta:

a razão dessa PG é:

q = 1/√2/2 = 2/√2 = 2√2/2 = √2

o vigésimo termo da PG é:

a20 = a1. q^19 = (√2/2) . (√2)^19 = (√2/2) . (√2)^18 . √2 = (√2)^18 = 2^9 = 512

Answer 2

O vigésimo termo dessa progressão geométrica é 512.

Progressão Geométrica

Chamamos de progressão geométrica (PG) uma sequência numérica na qual qualquer termo a partir do segundo pode ser obtido multiplicando o termo anterior pela razão da PG. O termo geral de uma PG pode ser calculado a partir da fórmula:

$A_n = a_1 \cdot q^{(n-1)}$

Sendo $A_n$ o enésimo termo, $a_1$ o primeiro termo e $q$ a razão da PG.

No caso dessa questão, vamos calcular a razão, dividindo um termo pelo seu antecessor:

$q = \frac{1}{\frac{\sqrt{2} }{2} } \Longrightarrow q = 1 \cdot \frac{2}{\sqrt{2} } \\\\q = \frac{2}{\sqrt{2} } \cdot \frac{\sqrt{2} }{\sqrt{2} } \Longrightarrow q = \frac{2\sqrt{2} }{2} \\\\q = \sqrt{2}$

Agora, aplicando na forma no termo geral, para encontrar o enésimo termo:

$a_{20} = \frac{\sqrt{2} }{2} \cdot \sqrt{2} ^{(20-1)}\\\\a_{20} = \frac{\sqrt{2} }{2} \cdot \sqrt{2} ^{19}\\\\a_{20} = \frac{\sqrt{2}^{20} }{2} \\\\a_{20} = \frac{2^{10} }{2} \\\\a_{20} = 2^9\\\\a_{20} = 512$

Portanto, o vigésimo termo dessa progressão geométrica é 512.

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