Matemática, perguntado por mc8753766, 1 ano atrás

qual é o vigésimo termo da p.a(13,15,17,19,...)?

Soluções para a tarefa

Respondido por atillaamorim1999

Já vemos de cara que a razão é 2.

Então vamos para: a1 + (n-1).r

a1 + (20-1).2 = X

X = 13 + 19.2

X = 13+38

X = 38+13 = 51

atillaamorim1999: Se quiser que eu explique a origem da fórmula, sem problemas.

Respondido por viniciusszillo

Olá! Segue a resposta com algumas explicações.

(I)Interpretação do problema:

Da P.A. (13, 15, 17, 19,...), tem-se:

a)primeiro termo (a₁), ou seja, o termo que ocupa a primeira posição: 13

b)vigésimo termo (a₂₀): ?

c)número de termos (n): 20 (Justificativa: Embora a PA seja infinita, para o cálculo de um determinado termo, é feito um "corte" nesta PA infinita, de modo a considerar a posição que o termo ocupa (no caso, 20ª), equivalente ao número de termos.)

d)Embora não se saiba o valor do vigésimo termo, apenas pela observação dos três primeiros termos da progressão fornecida, pode-se afirmar que a razão será positiva (afinal, os valores dos termos sempre crescem e, para que isso aconteça, necessariamente se deve somar um termo positivo, a razão, a um termo qualquer) e o termo solicitado igualmente será maior que zero.

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(II)Determinação da razão (r) da progressão aritmética:

Observação 1: A razão (r), valor constante utilizado para a obtenção dos sucessivos termos, será obtida por meio da diferença entre um termo qualquer e seu antecessor imediato.

r = a₂ - a₁ ⇒

r = 15 - 13 ⇒

r = 2 (Razão positiva, conforme prenunciado no item d acima.)

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(III)Aplicação das informações fornecidas pelo problema e da razão acima obtida na fórmula do termo geral (an) da P.A, para obter-se o vigésimo termo:

an = a₁ + (n - 1) . r ⇒

a₂₀ = a₁ + (n - 1) . (r) ⇒

a₂₀ = 13 + (20 - 1) . (2) ⇒

a₂₀ = 13 + (19) . (2) ⇒ (Veja a Observação 2.)

a₂₀ = 13 + 38 ⇒

a₂₀ = 51

Observação 2: Foi aplicada na parte destacada a regra de sinais da multiplicação: dois sinais iguais, +x+ ou -x-, resultam sempre em sinal de positivo (+).

Resposta: O 20º termo da P.A(13, 15, 17, 19, ...) é 51.

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DEMONSTRAÇÃO (PROVA REAL) DE QUE A RESPOSTA ESTÁ CORRETA

→Substituindo a₂₀ = 51 na fórmula do termo geral da PA e omitindo, por exemplo, o primeiro termo (a₁), verifica-se que o valor correspondente a ele será obtido nos cálculos, confirmando-se que o vigésimo termo realmente corresponde ao afirmado:

an = a₁ + (n - 1) . r ⇒

a₂₀ = a₁ + (n - 1) . (r) ⇒

51 = a₁ + (20 - 1) . (2) ⇒

51 = a₁ + (19) . (2) ⇒

51 = a₁ + 38 ⇒ (Passa-se 38 ao 1º membro e altera-se o sinal.)

51 - 38 = a₁ ⇒

13 = a₁ ⇔ (O símbolo ⇔ significa "equivale a".)

a₁ = 13 (Provado que a₂₀ = 51.)

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