Qual é o vigésimo elemento da PA de razão 3 em que a soma dos 30 termos iniciais é 255
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a+19r
S30 = (a+a30)/2*30 = 15(a+a30)= 15(a+a+29r)= 15(2a+87)
15(2a+87)=255
2a+87- 17
2a = -70
a= -35
a20= a+19r
a20= -35+19*3
a20= -35+57
a20= 22
S30 = (a+a30)/2*30 = 15(a+a30)= 15(a+a+29r)= 15(2a+87)
15(2a+87)=255
2a+87- 17
2a = -70
a= -35
a20= a+19r
a20= -35+19*3
a20= -35+57
a20= 22
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Vamos lá.
Veja, Letícia, que é pedido o vigésimo termo (a₂₀) de uma PA de razão (r) igual a "3" e que a soma dos seus 30 primeiros termos é "255".
Antes, note que a soma dos "n" primeiros termos de uma PA é dada pela seguinte fórmula:
Sn = (a₁+an)*n/2 . (I) <--- Vamos deixar "guardada" esta fórmula que vamos precisar daqui a pouco.
Agora veja que qualquer termo de uma PA poderá ser encontrado com a aplicação da fórmula do termo geral, que é dada por:
an = a₁ + (n-1)*r
Na fórmula acima, substituiremos "an" por "a₃₀"; substituiremos "n" por "30", pois estamos querendo encontrar o 30º termo; e, finalmente, substituiremos "r" por "3" (que é a razão da PA). Assim, fazendo essas substituições, teremos:
a₃₀ = a₁ + (30-1)*3
a₃₀ = a1 + (29)*3 ---- ou apenas:
a₃₀ = a1 + 29*3
a₃₀ = a₁ + 87 . (II) <--- Vamos também deixar esta expressão guardada aqui, pois vamos necessitar daqui a pouco.
Agora vamos na expressão (I), que é esta:
Sn = (a₁+an)*n/2 ---- substituindo-se Sn por S₃₀, teremos:
S₃₀ = (a1+an)*n/2
Agora note: como a soma dos 30 primeiros termos é igual a "255", então substituiremos S₃₀ por "255"; substituiremos "an" por "a₃₀" (que é o último termo) e, finalmente, substituiremos "n" por "30", pois estamos trabalhando com a soma dos 30 primeiros termos da PA.
Assim, fazendo essas substituições, teremos:
255 = (a₁ + a₃₀)*30/2
Agora veja que, pela expressão (II), vimos que: a₃₀ = a₁+87 . Então vamos substituir a₃₀ por esse valor. Assim:
255 = (a₁ + a₁+87)*30/2 ---- desenvolvendo as operações envolvidas, temos:
255 = (2a₁+87)*15 ---- dividindo-se ambos os membros por "15", iremos ficar apenas com:
17 = (2a₁ + 87) ----- ou apenas:
17 = 2a₁ + 87 ---- passando "87" para o 1º membro, teremos:
17 - 87 = 2a₁
- 70 = 2a₁ ---- vamos apenas inverter, ficando:
2a₁ = - 70
a₁ = -70/2
a₁ = - 35 <--- Este é o valor do 1º termo.
Agora ficou tudo mais fácil, pois já temos o valor do primeiro termo (a₁ = - 35) e temos o valor da razão (r = 3).
Assim, aplicando-se novamente a fórmula do termo geral de uma PA, encontraremos, tranquilamente, o 20º termo.
A fórmula do termo geral é esta:
an = a₁ + (n-1)*r
Na fórmula acima, substituiremos "an" por "a₂₀" (já que queremos encontrar o valor do 20º termo. Por sua vez, substituiremos "a₁" por "-35" (que é o valor do 1º termo; substituiremos "n" por "20", já que estamos trabalhando com o 20º termo; e, finalmente, substituiremos "r' por "3" (que é a razão da PA).
Assim, fazendo essas substituições, teremos:
a₂₀ = - 35 + (20-1)*3
a₂₀ = - 35 + (19)*3 --- ou apenas:
a₂₀ = - 35 + 19*3
a₂₀ = - 35 + 57
a₂₀ = 22 <--- Esta é a resposta. Este é o valor do 20º termo pedido.
É isso aí.
Deu pra entender bem?
OK?
Adjemir.
Veja, Letícia, que é pedido o vigésimo termo (a₂₀) de uma PA de razão (r) igual a "3" e que a soma dos seus 30 primeiros termos é "255".
Antes, note que a soma dos "n" primeiros termos de uma PA é dada pela seguinte fórmula:
Sn = (a₁+an)*n/2 . (I) <--- Vamos deixar "guardada" esta fórmula que vamos precisar daqui a pouco.
Agora veja que qualquer termo de uma PA poderá ser encontrado com a aplicação da fórmula do termo geral, que é dada por:
an = a₁ + (n-1)*r
Na fórmula acima, substituiremos "an" por "a₃₀"; substituiremos "n" por "30", pois estamos querendo encontrar o 30º termo; e, finalmente, substituiremos "r" por "3" (que é a razão da PA). Assim, fazendo essas substituições, teremos:
a₃₀ = a₁ + (30-1)*3
a₃₀ = a1 + (29)*3 ---- ou apenas:
a₃₀ = a1 + 29*3
a₃₀ = a₁ + 87 . (II) <--- Vamos também deixar esta expressão guardada aqui, pois vamos necessitar daqui a pouco.
Agora vamos na expressão (I), que é esta:
Sn = (a₁+an)*n/2 ---- substituindo-se Sn por S₃₀, teremos:
S₃₀ = (a1+an)*n/2
Agora note: como a soma dos 30 primeiros termos é igual a "255", então substituiremos S₃₀ por "255"; substituiremos "an" por "a₃₀" (que é o último termo) e, finalmente, substituiremos "n" por "30", pois estamos trabalhando com a soma dos 30 primeiros termos da PA.
Assim, fazendo essas substituições, teremos:
255 = (a₁ + a₃₀)*30/2
Agora veja que, pela expressão (II), vimos que: a₃₀ = a₁+87 . Então vamos substituir a₃₀ por esse valor. Assim:
255 = (a₁ + a₁+87)*30/2 ---- desenvolvendo as operações envolvidas, temos:
255 = (2a₁+87)*15 ---- dividindo-se ambos os membros por "15", iremos ficar apenas com:
17 = (2a₁ + 87) ----- ou apenas:
17 = 2a₁ + 87 ---- passando "87" para o 1º membro, teremos:
17 - 87 = 2a₁
- 70 = 2a₁ ---- vamos apenas inverter, ficando:
2a₁ = - 70
a₁ = -70/2
a₁ = - 35 <--- Este é o valor do 1º termo.
Agora ficou tudo mais fácil, pois já temos o valor do primeiro termo (a₁ = - 35) e temos o valor da razão (r = 3).
Assim, aplicando-se novamente a fórmula do termo geral de uma PA, encontraremos, tranquilamente, o 20º termo.
A fórmula do termo geral é esta:
an = a₁ + (n-1)*r
Na fórmula acima, substituiremos "an" por "a₂₀" (já que queremos encontrar o valor do 20º termo. Por sua vez, substituiremos "a₁" por "-35" (que é o valor do 1º termo; substituiremos "n" por "20", já que estamos trabalhando com o 20º termo; e, finalmente, substituiremos "r' por "3" (que é a razão da PA).
Assim, fazendo essas substituições, teremos:
a₂₀ = - 35 + (20-1)*3
a₂₀ = - 35 + (19)*3 --- ou apenas:
a₂₀ = - 35 + 19*3
a₂₀ = - 35 + 57
a₂₀ = 22 <--- Esta é a resposta. Este é o valor do 20º termo pedido.
É isso aí.
Deu pra entender bem?
OK?
Adjemir.
adjemir:
Disponha, Letícia e sucesso nos seus estudos. Um abraço. Adjemir.
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