Question

Qual é o valor do produto dos coeficientes do segundo e do último termo do desenvolvimento( x – 1 ) 50 ?a) 2500 b) – 50 c) – 61250 d) 100 e) 61250

Answer 1

$(x-1)^{50}$

O coeficiente do segundo termo é:

 $\dbinom{50}{1}\cdot(-1)^1=\dfrac{50!}{1!\cdot49!}\cdot(-1)=\dfrac{50\cdot49!}{1\cdot49!}\cdot(-1)=50\cdot(-1)=-50$

E o coeficiente do último termo é:

$\dbinom{50}{50}\cdot(-1)^{50}=\dfrac{50!}{50!\cdot0!}\cdot1=1\cdot1=1$

Logo, o produto procurado é $(-50)\cdot1=-50$

$\text{Letra B}$

Answer 2

Vamos lá.

Veja, Luannnarodrigues, que a resolução é simples.
Vamos tentar fazer tudo passo a passo para um melhor entendimento.

i) Pede-se o produto dos coeficientes do segundo e do último termo do seguinte desenvolvimento, que vamos chamar de um certo "N", apenas para deixá-lo igualado a alguma coisa:

N = (x - 1)⁵⁰

i.a) Agora veja isto e não esqueça mais: o desenvolvimento de um número da forma (x -a)ⁿ  dá-se pela combinação de "n" elementos tomados "p" a "p", com "n" começando de "50" e indo, decrescentemente até "0", e "p" começando de "0" e indo, crescentemente, até "50". Ou seja, temos teremos isto para o número N da sua questao [N = (x-1)⁵⁰]:

C₍₅₀, ₀₎ +  C₍₅₀, ₁₎ + ....... + C₍₅₀, ₄₉₎) + C₍₅₀, ₅₀)
......↑...............↑........................↑................↑...........

1º termo..2º termo........49º termo......50º termo

1.b) E cada termo acima (do primeiro ao último) será dado, como visto acima, pela combinação de 50 partes, tomadas  "0" a "0" até  "50" a "50", como visto aí em cima, e cada termo do desenvolvimento (x-1)⁵⁰ tem a seguinte fórmula:

C(n, p) = [n!/(n-p)!p!]*xⁿ⁻ᵖ.(-1)ᵖ

i.c) Assim, trabalhando-se com o 2º termo e com o último termo, teremos:

- Para o segundo termo, temos:

C₍₅₀, ₁₎ = [50!/(50-1)!1!]*x⁵⁰⁻¹.(-1)¹ = [50!/49!.1!]*x⁴⁹.(-1) = [50.49!/49!.1]*(-x⁴⁹) =
= - 50x⁴⁹  <---- Este é o valor do 2º termo.

- Para o último termo, temos:

C₍₍₅₀, ₅₀₎ = [50!/(50-50)!50!].x⁵⁰⁻⁵⁰.(-1)⁵⁰ = [50!/0!50!]*x⁰*1 = 1.1.1 = 1 <--- Este é o valor do último termo (ou seja, do 50º termo).

ii) Agora vamos ao que está sendo pedido, que é o produto dos coeficientes do 2º e do último termo (50º termo). Assim, como você viu, o coeficiente do 2º termo é "-50" e do último termo (do 50º termo) é "1". Assim, o produto será (chamando esse produto de "k"):

k = -50*1
k = -50 <---- Esta é a resposta. Opção "b". Ou seja, o produto dos coeficientes do segundo termo e do último termo é igual a "-50".

É isso aí.
Deu pra entender bem?

OK?
Adjemir.