Question

Qual é o valor de x , se o número$(\frac{2} {10})^{2x}$ , possui 20 casas decimais?             

Answer 1

Olá, Adriana.

$(\frac{2}{10})^{2x}=[(\frac{2}{10})^2]^{x}=(\frac{2^2}{10^2})^{x}=\frac{4^x}{10^{2x}}$

Se o número possui 20 casas decimais, então $x$ pode ser igual a 10, pois ${10^{2x}}=10^{20}$ é um número composto pelo 1 e mais 20 zeros. Qualquer número não terminado em zero, quando dividido por 1 e mais 20 zeros, deve possuir 20 casas depois da vírgula, decorrente de 20 deslocamentos da vírgula para a esquerda.

Neste caso, o número $(\frac{2}{10})^{2x}$ é igual a $\frac{4^{10}}{10^{20}}$.

Para confirmarmos que x = 10, devemos demonstrar que $4^{10}$ não termina em zero, de tal forma que, quando dividirmos por $10^{20}$, este número tenha 20 casas depois da vírgula.

$4^2=4 \times 4 = 16\\ 4^3=16 \times 4 = 64\\ 4^4=64 \times 4 = 256\\ 4^5=256 \times 4 = 1024, etc.$

Se o expoente de 4 for par, o número termina em 6.
Se o expoente de 4 for ímpar, o número termina em 4.

Ou seja, o número $4^{10}$ é um número terminado em 6 e, portanto, quando dividido por $10^{20}$, fica com 20 casas depois da vírgula.

$\therefore\boxed{x=10}}$