Question

Qual é o valor de

$\large\text{ \displaystyle\sf\sum_{\boldsymbol{\sf k\:\!\:\!=\:\!\:\!2}}^{\boldsymbol{\sf 100}}\,\boldsymbol{\sf\dfrac{1}{log_{\:\!\:\!k}\,100!}\:\,\boldsymbol{\sf ?}} }$



$\large\begin{array}{l}\sf\boldsymbol{\sf a)}\ \dfrac{1}{100}\\\\\\ \sf\boldsymbol{\sf b)}\ 1\\\\\\ \sf\boldsymbol{\sf c)}\ \dfrac{1}{100!}\\\\\\ \sf\boldsymbol{\sf d)}\ 100\\\\\\ \sf\boldsymbol{\sf e)}\ \dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{3}+\dfrac{1}{4}+\cdots+\dfrac{1}{100}\end{array}$

Answer 1

Somatório

Observe:

$\frac{1}{log_k100!}=log_{100!}\:k$

Portanto, abrindo esse somatório (iniciando-se k na 2º posição até a 100º posição):

$\sum\limits_{k=2}^{100}log_{100!}\:k=log_{100!}\:2+log_{100!}\:3+...+log_{100!}\:100\\\\\\\sum\limits_{k=2}^{100}log_{100!}\:k=log_{100!}\:(2\times3\times...\times100)$

Veja que apenas fizemos o processo inverso da propriedade ''logaritmo do produto'', onde a soma de logaritmos que possuem bases iguais é igual ao logaritmo do produto dos logaritmandos, permanecendo o valor da base inalterado.

Agora note que 100! = 1 × 2 × 3 ... × 100 (pois fatorial de um número é a multiplicação desse número por todos seus antecessores naturais não nulos). Assim:

$\sum\limits_{k=2}^{100}log_{100!}\:k=log_{2\times3\times...\times100}\:(2\times3\times...\times100)$

Pela consequência da definição, um logartimo que tem sua base e seu logartimando iguais é igual a um:

$\sum\limits_{k=2}^{100}log_{100!}\:k=1$

Alternativa b)

Answer 2

• O valor desse somatório é igual a 1. ( B ).

Dado o somatório: $\large\displaystyle\begin{aligned} \sum _{k=2}^{100} \left( \frac{1}{\log _k 100!} \right) \end{aligned}$, devemos aplicar a seguinte propriedade $\large\displaystyle\begin{aligned} \log _a b = \frac{\log_c b }{\log_c a} \end{aligned}$. Logo:

$\large\displaystyle\begin{aligned} \sum _{k=2}^{100} \left( \frac{1}{\log _k 100!} \right) \end{aligned} = \large\displaystyle\text{ \begin{aligned} \sum _{k=2}^{100} \left( \frac{1}{\frac{ \log_{100!} 100! }{\log _{100!} k}} \right)\end{aligned} }$

$\large\displaystyle\begin{aligned} \sum _{k=2}^{100} \left( \frac{1}{\log _k 100!} \right) \end{aligned} = \large\displaystyle\text{ \begin{aligned} \sum _{k=2}^{100} \left( \frac{1}{\frac{ 1 }{\log _{100!} k}} \right)\end{aligned} }$

$\large\displaystyle\begin{aligned} \sum _{k=2}^{100} \left( \frac{1}{\log _k 100!} \right) \end{aligned} = \large\displaystyle\text{ \begin{aligned} \sum _{k=2}^{100} \left( 1\cdot \frac{\log _{100!} k}{1} \right)\end{aligned} }$

$\large\displaystyle\begin{aligned} \sum _{k=2}^{100} \left( \frac{1}{\log _k 100!} \right) \end{aligned} = \large\displaystyle\begin{aligned} \sum _{k=2}^{100} \left( \log _{100!} k\right)\end{aligned}$

Agora, perceba que $\large\displaystyle\begin{aligned} \sum _{k=2}^{100} \left( \log _{100!} k\right)\end{aligned} = \large\displaystyle\begin{aligned}\log _{100!} ( 1\cdot 2\cdot ... \cdot 100 )\end{aligned}$. Logo, o k é igual a 100!. Ficando assim:

$\large\displaystyle\begin{aligned} \log _{100!} (1\cdot 2\cdot ... \cdot 100) \end{aligned}=\large\displaystyle\begin{aligned} \log _{100!} (100!)\end{aligned}$

Pela definição de log, temos que $\large\displaystyle\begin{aligned} \log _a b = x\end{aligned}$ . Onde a^{x} = b. Logo:

$\large\displaystyle\begin{aligned} \log _{100!} (100!) \Rightarrow (100!)^x = 100!\end{aligned}$

$\large\displaystyle\begin{aligned} \log _{100!} (100!) \Rightarrow \not{(100!)}^x = \not{100!}\end{aligned}$

$\large\displaystyle\begin{aligned} \log _{100!} (100!) \Rightarrow x=1\end{aligned}$

$\large\displaystyle\text{ \begin{aligned} \therefore \boxed{\boxed{\green{\sum _{k=2}^{100} \left( \frac{1}{\log _k 100!} \right) =\underline{\underline{ 1}}}}} \end{aligned} }$

Veja mais sobre:

Logaritmos.

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