Question

Qual é o valor de t para que os vetores a = (3,2,–2), b = (t,2,-2) e c = (1,–t,1) sejam coplanares.

Answer 1

Resposta:

Olá bom dia!

Vetores são coplanares quanto pertencem ao mesmo plano.

A condição é que a determinante (D) da matriz:

Xa  Ya Za

Xb  Yb Zb

Xc  Yc  Zc

seja nula.

Logo:

3  2  -2 |  3  2

t   2  -2 |  t   2    = 0

1   -t   1  |  1   -t

3*2*1 + 2*-2*1 + (-2*t*-t) - [2*t*1 + 3*-2*-t + (-2*2*t) = 0

6 - 4 + 2t² - [2t + 6t - 4t] = 0

2 + 2t² - 4t = 0

2t² - 4t + 2 = 0

Dividindo todos os termos por 2:

t² - 2t + 1 = 0

Equação do segundo grau:

a = 1 ; b = 2 ; c  =1

Δ = b² - 4ac

Δ = (-2)² - 4(1)*(1)

Δ = 4 - 4

Δ = 0

t = -(-2) ± 0 / 2*1

t = 2 / 2

t = 1

Para que os vetores a, b e c seja coplanares, a condição é  t = 1.

Answer 2

✅ Após desenvolver todos os cálculos, concluímos que os possíveis valores do parâmetro "t" para que três referidos vetores sejam coplanares em V³, estão contidos no seguinte conjunto solução:

    $\Large\displaystyle\text{ \begin{gathered}\boxed{\boxed{\:\:\:\bf S = \{1, 3\}\:\:\:}}\end{gathered} }$

         

Sejam os vetores:

       $\Large\begin{cases} \vec{a} = (3, 2, -2)\\ \vec{b} = (t, 2, -2)\\ \vec{c} = (1, -t, 1)\end{cases}$

Dizemos que três vetores de V³ são coplanares se, e somente se, o produto misto entre eles for igual a "0". Então, temos:

                           $\Large\displaystyle\begin{gathered}\vec{a}\cdot(\vec{b}\wedge\vec{c}) = 0 \end{gathered}$

          $\Large\displaystyle\begin{gathered} \begin{vmatrix}3 & 2 & -2\\ t & 2 & -2\\ 1 & -t & 1\end{vmatrix}\begin{matrix}3 & 2\\ t & 2\\ 1 & -t\end{matrix} = 0\end{gathered}$

$\large\displaystyle\begin{gathered}3\cdot2\cdot1 + 2\cdot(-2)\cdot1 + (-2)\cdot t\cdot(-t) - 2\cdot t\cdot1 - 3\cdot(-2)\cdot(-t) - (-2)\cdot2\cdot1 = 0 \end{gathered}$

$\Large\displaystyle\begin{gathered} 6 - 4 + 2t^{2} - 2t - 6t + 4 = 0 \end{gathered}$

                            $\Large\displaystyle\begin{gathered} 2t^{2} - 8t + 6 = 0\end{gathered}$

Chegamos à uma equação do segundo grau - equação quadrática - cujos coeficientes são:

                        $\Large\begin{cases} a = 2\\ b = -8\\ c = 6\end{cases}$

Calculando o valor do delta, temos:

              $\Large\displaystyle\begin{gathered}\Delta = b^{2} - 4ac \end{gathered}$

                    $\Large\displaystyle\begin{gathered} = (-8)^{2} - 4\cdot2\cdot 6\end{gathered}$

                    $\Large\displaystyle\begin{gathered} = 64 - 48\end{gathered}$

              $\Large\displaystyle\begin{gathered}\therefore\:\:\:\Delta = 16 \end{gathered}$

Calculando as raízes temos:

                 $\Large\displaystyle\text{ \begin{gathered} t = \frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a} \end{gathered} }$

                     $\Large\displaystyle\text{ \begin{gathered} = \frac{-(-8)\pm\sqrt{16}}{2\cdot2} \end{gathered} }$

                      $\Large\displaystyle\begin{gathered} = \frac{8\pm4}{4} \end{gathered}$

                      $\Large\displaystyle\begin{gathered} = 2\pm1\end{gathered}$

Então:

            $\Large\begin{cases} t' = 2 - 1 = 1\\ t'' = 2 + 1 = 3\end{cases}$

✅ Portanto, o conjunto solução é:

              $\Large\displaystyle\begin{gathered} S = \{1, 3\}\end{gathered}$

Observe que com esta solução temos dois possíveis trios de vetores coplanares, que são:

      $\Large\begin{cases}1^{\underline{o}} = \Large\begin{cases}\vec{a} = (3, 2, -2)\\ \vec{b}' = (1, 2, -1)\\ \vec{c}' = (1, -1, 1)\end{cases}\\\\ 2^{\underline{o}}=\Large\begin{cases}\vec{a} = (3, 2, -1)\\ \vec{b}'' = (3, 2, -2)\\ \vec{c}'' = (1, -3, 1)\end{cases}\end{cases}$

Observe que o primeiro trio pertence a um plano e o segundo trio pertence a outro plano.

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