Question

Qual é o valor de cos (x) se tan (x) = -2

Answer 1

Resposta:  $\mathsf{cos(x)=\pm\,\dfrac{1}{\sqrt{5}}.}$

Explicação passo-a-passo:

    $\mathsf{tg(x)=-\,2}\\\\ \mathsf{\Longleftrightarrow\quad \dfrac{sen(x)}{cos(x)}=-\,2}\\\\\\ \mathsf{\Longrightarrow\quad sen(x)=-\,2\,cos(x)}$

Eleve os dois lados ao quadrado:

    $\mathsf{\Longrightarrow\quad (sen(x))^2=(-\,2\,cos(x))^2}\\\\ \mathsf{\Longleftrightarrow\quad sen^2(x)=4\,cos^2(x)}$

Substitua sen²(x) = 1 − cos²(x):

    $\mathsf{\Longleftrightarrow\quad 1-cos^2(x)=4\,cos^2(x)}\\\\ \mathsf{\Longleftrightarrow\quad 1=4\,cos^2(x)+cos^2(x)}\\\\ \mathsf{\Longleftrightarrow\quad 1=5\,cos^2(x)}\\\\\\ \mathsf{\Longleftrightarrow\quad cos^2(x)=\dfrac{1}{5}}\\\\\\ \mathsf{\Longleftrightarrow\quad cos(x)=\pm\,\dfrac{1}{\sqrt{5}}}$

A tangente de x é negativa, o que indica que x só pode ser ou do 2º ou do 4º quadrante.

Se x for do 2º quadrante, então $\mathsf{cos(x)=-\,\dfrac{1}{\sqrt{5}}.}$

Se x for do 4º quadrante, então $\mathsf{cos(x)=\dfrac{1}{\sqrt{5}}.}$

Obs:: Você pode usar também outra identidade:

    $\mathsf{sec^2(x)=1+tg^2(x)}\\\\ \mathsf{\Longleftrightarrow\quad cos^2(x)=\dfrac{1}{1+tg^2(x)}}$

e dessa você consegue obter o valor de cos(x) mais diretamente.

Dúvidas? Comente.

Bons estudos! :-)

Answer 2

Resposta:

tan(x)=sen(x)/cos(x)=-2

sen(x)=-2*cos(x)

sen²(x)+cos²(x)=1

[-2*cos(x)]²+cos²(x)=1

4*cos²(x)+cos²(x)=1

5 *cos²(x) =1

cos (x)=±√(1/5) =±√5/5

Se x for do 2ª quadrante ==> cos(x) =-√5/5

Se x for do 4ª quadrante ==> cos(x)= √5/5