Qual é o valor de a+b, sabendo que a-b=10 e a²-b²=50.
Soluções para a tarefa
Vamos lá.
Veja, Lucas, que a resolução parece simples. Apenas um pouco trabalhosa. Mas vamos tentar fazer tudo passo a passo para um melhor entendimento.
i) Pede-se o valor da expressão "a + b", sabendo-se que:
{a - b = 10 . (I)
{a² - b² = 50 . (II)
ii) Vamos fazer o seguinte: vamos tomar a expressão (I) e vamos elevar ambos os membros ao quadrado. Fazendo isso, teremos:
(a-b) = 10² ----- desenvolvendo, temos:
a² - 2ab + b² = 100 ----- vamos apenas ordenar, ficando:
a² + b² - 2ab = 100 . (III)
iii) Agora veja: vamos somar, membro a membro, a expressão (II) com a expressão (III). Fazendo isso, teremos:
a² - b² ............ = 50 ------ [esta é a expressão (II) normal]
a² + b² - 2ab = 100 ------ [esta é a expressão (III) normal]
--------------------------------- somando-se membro a membro, ficamos:
2a²+0 - 2ab = 150 ---- ou apenas:
2a² - 2ab = 150 ------ vamos pôr "2a' em evidência, com o que ficaremos:
2a*(a - b) = 150 --------------- mas veja, que conforme a expressão (I), temos que "a - b = 10". Então substituiremos "a-b" por "10" e ficaremos assim:
2a*(10) = 150 ---- isolando "2a", teremos:
2a = 150/10 ---- como "150/10 = 15", teremos:
2a = 15 ---- isolando "a", teremos:
a = 15/2 ----- como "15/2 = 7,5", teremos:
a = 7,5 <--- Este é o valor da incógnita "a".
iv) Agora, para encontrar o valor da incógnita "b" vamos em quaisquer uma das duas primeiras expressões [ou na (I) ou na (II)] e, em quaisquer uma delas substituiremos "a' por "7,5". Vamos na expressão (I), que é esta:
a - b = 10 ---- substituindo-se "a" por "7,5", teremos:
7,5 - b = 10 ---- passando "7,5" para o 2º membro, teremos:
- b = 10 - 7,5 ------ como "10 - 7,5 = 2,5", teremos:
- b = 2,5 ---- multiplicando-se ambos os membros por "-1", teremos:
b = - 2,5 <--- Este é o valor da incógnita "b".
v) Finalmente, agora vamos para o que está sendo pedido, que é o valor da soma "a+b". Assim, teremos (note que basta substituir "a" por "7,5" e "b" por "-2,5"):
a + b = 7,5 + (-2,5) ---- retirando-se os parênteses, ficaremos:
a + b = 7,5 - 2,5
a + b = 5 <--- Esta é a resposta. Ou seja, este é o valor pedido de "a+b".
Bem, a resposta já está dada. Mas apenas por uma mera curiosidade, vamos ver se isso é verdade mesmo. Vamos ver se:
a - b = 10 ------substituindo-se "a" por "7,5" e "b" por "-2,5", teremos:
7,5 - (-2,5) = 10 --- retirando-se os parênteses, teremos:
7,5 + 2,5 = 10
10 = 10 <---- Perfeito. Fechou.
E agora vamos ver se:
a² - b² = 50 ----- substituindo-se "a' por "7,5" e "b" por "-2,5", teremos:
(7,5)² - (-2,5)² = 50 ---- desenvolvendo, teremos:
56,25 - 6,25 = 50 ----- como "56,25 - 6,25 = 50", teremos:
50 = 50 <---- Perfeito. Fechou também.
É isso aí.
Deu pra entender bem?
Ok?
Adjemir.
procura a+b = ?
{ A - B = 10 -----> A = 10 + B
{A² - B² = 50 --- substituindo o valor de A na 2° equação
(10 + B)² - B² = 50
100 + 20B + B² - B² = 50
100 + 20B = 50
20B = 50 -100
20B = - 50
B = -50 / 20 = -5/2 = - 2,5
temos que A = 10 + B
A = 10 + (- 2,5)
A = 10 - 2,5
A = 7,5
A + b = ?
7,5 + (- 2,5) =
7,5 - 2,5 = 5
Resposta A+B = 5,0