Question

Qual é o valor de√2· ⁴√2·⁸√2·³²√2· ...?

Gabarito: 2

Answer 1

Vamos lá.

Pede-se o resultado da seguinte expressão, que vamos chamar de um certo "y", apenas para deixá-la igualada a alguma coisa. Assim teremos:

y = √(2) * ⁴ √(2) * ⁸√(2) * ¹⁶√(2) * ³²√(2)..........

Note que a expressão acima poderá ser reescrita assim, o que é a mesma coisa:

y = 2¹/² * 2¹/⁴ * 2¹/⁸ * 2¹/¹⁶ * 2¹/³² ......

Veja que temos aí em cima uma multiplicação de potências da mesma base. Regra: conserva-se a base comum e somam-se os expoentes. Logo:

y = 2¹/²⁺¹/⁴⁺¹/⁸⁺¹/¹⁶⁺¹/³² .....

Agora vamos olhar só para a soma dos expoentes, que é esta:

1/2 + 1/4 + 1/8 + 1/16 + 1/32..... ---- Note que se trata de uma PG infinita cujo primeiro termo é "1/2" e cuja razão (q) também é "1/2", cuja fórmula é esta (o que você já sabe porque já resolvemos várias questões utilizando isso):

Sn = a₁/(1-q) ------ Assim, a soma dos "n" termos aí de cima, será:

Sn = (1/2)/(1-1/2) -------- note que: 1 - 1/2 = 1/2. Assim:
Sn = (1/2) / (1/2) ----- como (1/2)/(1/2) = 1, então teremos que:
Sn = 1 <--- Esta é a soma de todos os expoentes da base "2" que deixamos lá na expressão "y". Assim, como tínhamos que:

y = 2¹/²⁺¹/⁴⁺¹/⁸⁺¹/¹⁶⁺¹/³² .... e já vimos que essa soma de expoentes é "1", então:
y = 2¹
y = 2 <--- Esta é a resposta.

É isso aí.
Deu pra entender bem?

OK?
Adjemir.