Question

Qual é o valor da tangente de 15 graus em fração?

Answer 1

Resposta:  $\mathrm{tg}(15^\circ)=\dfrac{\sqrt{3}-1}{\sqrt{3}+1}=2-\sqrt{3}.$

Explicação passo a passo:

Utilizaremos a identidade da tangente da diferença entre dois arcos:

    $\mathrm{tg}(\alpha-\beta)=\dfrac{\mathrm{tg}(\alpha)-\mathrm{tg}(\beta)}{1+\mathrm{tg}(\alpha)\cdot \mathrm{tg}(\beta)}$

Podemos escrever $15^\circ=60^\circ-45^\circ$ e aplicar aplicar a fórmula acima, para $\alpha=60^\circ$ e $\beta=45^\circ,$ cujos valores das tangentes são conhecidos, pois são arcos notáveis:

    $\mathrm{tg}(15^\circ)=\mathrm{tg}(60^\circ-45^\circ)\\\\=\dfrac{\mathrm{tg}(60^\circ)-\mathrm{tg}(45^\circ)}{1+\mathrm{tg}(60^\circ)\cdot \mathrm{tg}(45^\circ)}\\\\\\ =\dfrac{\sqrt{3}-1}{1+\sqrt{3}\cdot 1}\\\\\\ =\dfrac{\sqrt{3}-1}{1+\sqrt{3}} \\\\\\=\dfrac{\sqrt{3}-1}{\sqrt{3}+1}\qquad\checkmark$

Para racionalizar o denominador, multiplique o numerador e o denominador por $(\sqrt{3}-1):$

    $=\dfrac{(\sqrt{3}-1)\cdot (\sqrt{3}-1)}{(\sqrt{3}+1)\cdot (\sqrt{3}-1)}\\\\\\ =\dfrac{(\sqrt{3}-1)^2}{(\sqrt{3}+1)\cdot (\sqrt{3}-1)}$

Expanda o quadrado da diferença no numerador, e o produto da soma pela diferença no denominador (ver produtos notáveis):

    $=\dfrac{(\sqrt{3})^2-2\cdot (\sqrt{3})\cdot 1+1^2}{(\sqrt{3})^2-(1)^2}\\\\\\ =\dfrac{3-2\sqrt{3}+1}{3-1}\\\\\\ =\dfrac{4-2\sqrt{3}}{2}\\\\\\ =\dfrac{\diagup\!\!\!\! 2\cdot (2-\sqrt{3})}{\diagup\!\!\!\! 2}$

    $\therefore~~\mathrm{tg}(15^\circ)=2-\sqrt{3}\qquad\checkmark$

Bons estudos!