Question

Qual é o valor da soma p + q, para que o polinômio


3x4 + 6x3 + px2 + qx + 20 seja divisível por 3x2 + 4?

Answer 1

Olá,

Um polinômio m(x) é divisível por um polinômio n(x) quando existe um polinômio s(x) tal que m(x)=n(x)s(x).

Dessa forma, considerando que o polinômio $3x^{4}+6x^{3}+px^{2}+qx+20$ é divisível por $3x^{2}+4$, pela definição acima, temos que existe um polinômio s(x), tal que

$3x^{4}+6x^{3}+px^{2}+qx+20 = (3x^{2}+4)s(x)$

Como o polinômio do primeiro membro da igualdade possui grau 4, o polinômio do segundo membro da igualdade também terá. Dessa forma, levando em consideração que $3x^{2}+4$ tem grau 2, temos que s(x) também terá grau 2, ou seja, será da forma $ax^{2}+bx+c$.

Assim, o produto entre $3x^{2}+4$ e s(x) será:

$(3x^{2}+4)(ax^{2}+bx+c)=$

$3ax^{4}+3bx^{3}+3cx^{2}+4ax^{2}+4bx+4c=$

$3ax^{4}+3bx^{3}+(3c+4a)x^{2}+4bx+4c$

Dessa forma,

$3x^{4}+6x^{3}+px^{2}+qx+20 = 3ax^{4}+3bx^{3}+(3c+4a)x^{2}+4bx+4c$

Em uma igualdade de polinômios, os coeficientes que acompanham os termos de mesmo expoente são iguais um a um, assim

1) No termo independente, temos 20 = 4c, ou seja, c = 5

2) Em $x^{4}$, temos 3 = 3a, ou seja, a = 1

3) Em $x^{3}$, temos 6 = 3b, ou seja, b = 2

4) Em $x^{2}$, temos p = 3c+4a, ou seja, p = 15 + 4 = 19

5) Em $x$, temos q = 4b, ou seja, q = 8.

Segue que p = 19 e q = 8.

Portanto, p+q = 19+8 = 27.

Abraços,