Question

Qual é o valor da soma dos quadrados das raízes da equação x²+x=12?

Se puder, escrever como ser feito o cálculo, ajudará muito

Answer 1

x²+x-12=0

passei o doze pro lado esquerdo.

agora temos uma equação do segundo grau. Para resolvê-la vamos usar a fórmula de Bhaskara.

vamos calcular o delta:

∆ = b² - 4 . a . c

substituindo:

∆ = (-1 ) ² - 4 . 1 . ( -12 )

∆ = 1 + 48

∆ = 49

fórmula de Bhaskara:

x =( -b +-√∆)/2.a

x = (- 1 +-√49)/2 . 1

x = (-1 +- 7)/2.1

x'= -4
x"= 3

a soma dos quadrados é:

(-4)²+ 3²= 16 + 9= 25

espero ter ajudado, amigo!!!

se puder, avalie minha resposta!;)

Answer 2

✅ Após ter resolvido todos os cálculos concluímos que a soma dos quadrados das raízes da referida equação do segundo grau (quadrática) é:

      $\large\displaystyle\text{ \begin{gathered}\boxed{\boxed{\:\:\:\bf (x')^{2} + (x'')^{2} = 25\:\:\:}} \end{gathered} }$

Seja a equação do segundo grau:

      $\large\displaystyle\begin{gathered}x^{2} + x = 12 \end{gathered}$

Organizando-a, temos:

   $\large\displaystyle\begin{gathered}x^{2} + x - 12 = 0 \end{gathered}$

Nesta situação, seus coeficientes são:

           $\large\begin{cases}a = 1\\b = 1\\c = -12 \end{cases}$

Sabendo que suas raízes são:

       $\Large\begin{cases}x' = \frac{-b - \sqrt{\Delta}}{2a} \\x'' = \frac{-b + \sqrt{\Delta}}{2a} \end{cases}$

Deduzindo a fórmula da soma dos quadrados das raízes temos:

$\large\displaystyle\text{ \begin{gathered}(x')^{2} + (x'')^{2} = \Bigg(\frac{-b - \sqrt{\Delta}}{2a}\Bigg)^{2} + \Bigg(\frac{-b + \sqrt{\Delta}}{2a}\Bigg)^{2} \end{gathered} }$

                       $\large\displaystyle\text{ \begin{gathered}= \frac{(-b - \sqrt{\Delta})^{2}}{(2a)^{2}} +\frac{(-b + \sqrt{\Delta})^{2}}{(2a)^{2}} \end{gathered} }$

                       $\large\displaystyle\text{ \begin{gathered}= \frac{(-b - \sqrt{\Delta})^{2}}{4a^{2}}+ \frac{(-b + \sqrt{\Delta})^{2}}{4a^{2}} \end{gathered} }$

                       $\large\displaystyle\text{ \begin{gathered}= \frac{b^{2} + 2b\sqrt{\Delta} + \Delta + b^{2} - 2b\sqrt{\Delta} + \Delta}{4a^{2}} \end{gathered} }$

                       $\large\displaystyle\text{ \begin{gathered}= \frac{2b^{2} + 2\Delta}{4a^{2}} \end{gathered} }$

Se:

                   $\large\displaystyle\begin{gathered}\Delta = b^{2} - 4ac \end{gathered}$

Então:

$\large\displaystyle\text{ \begin{gathered}(x')^{2} + (x'')^{2} = \frac{2b^{2} + 2(b^{2} - 4ac)}{4a^{2}} \end{gathered} }$

                        $\large\displaystyle\text{ \begin{gathered}= \frac{2b^{2} + 2b^{2} - 8ac}{4a^{2}} \end{gathered} }$

                        $\large\displaystyle\text{ \begin{gathered}= \frac{4b^{2} - 8ac}{4a^{2}} \end{gathered} }$

                         $\large\displaystyle\text{ \begin{gathered}= \frac{b^{2} - 2ac}{a^{2}} \end{gathered} }$

Portanto, a soma dos quadrados das raízes da equação do segundo grau pode ser calculada pela seguinte fórmula:

     $\large\displaystyle\text{ \begin{gathered}(x')^{2} + (x'')^{2} = \frac{b^{2} - 2\cdot a\cdot c}{a^{2}} \end{gathered} }$

Substituindo os coeficientes da referida equação nesta última equação, temos:

    $\large\displaystyle\text{ \begin{gathered}(x')^{2} + (x'')^{2} = \frac{1^{2} - 2\cdot1\cdot(-12)}{1^{2}} \end{gathered} }$

                            $\large\displaystyle\begin{gathered}= \frac{1 + 24}{1} \end{gathered}$

                            $\large\displaystyle\begin{gathered}= \frac{25}{1} \end{gathered}$

                            $\large\displaystyle\begin{gathered}= 25 \end{gathered}$

✅ Portanto, o resultado é:

       $\large\displaystyle\begin{gathered}(x')^{2} + (x'')^{2} =25 \end{gathered}$

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