Question

Qual é o valor da soma dos inversos das duas raízes da equação 6x2 + 3x + 4 = -8x?
Escolha uma:
a. -1/3
b. -11/6
c. 11/4
d. -11/4
e. -1

Answer 1

Questão que se resolve com as relações de Girard.

Revisãozinha boba: tu tem duas frações, $\frac ab$ e $\frac cd$. A soma delas duas é dada da seguinte forma:

$\frac ab+\frac cd = \frac{ad+bc}{bd}$

i) O inverso de um número $x$ é dado por $\frac1x$. Se as raízes da equação são $x_1$ e $x_2$ então queremos saber o valor de

$\frac{1}{x_1}+\frac{1}{x_2}=\frac{x_1+x_2}{x_1.x_2}$

ii) A partir das relações de Girard encontramos que

$\left\{\begin{array}{l}x_1+x_2=-\frac ba\\ x_1.x_2=\frac ca\end{array}\right.$

Daí o valor procurado da soma é:

$\frac{1}{x_1}+\frac{1}{x_2}=\frac{x_1+x_2}{x_1.x_2}=-\frac{b/a}{c/a}\\ \\ \boxed{\frac{1}{x_1}+\frac{1}{x_2}=-\frac bc}$

iii) Temos que "preparar" a equação, para que possamos calcular o que foi pedido; o que fiz acima é um caso geral. Temos, primeiro, que deixar a equação na forma $ax^2+bx+c=0$ para que possamos substituir os valores da relação acima, mas, oras, isso é fácil:

$6x^2+3x+4=-8x\Rightarrow 6x^2+11x+4=0$

Agora que a equação está na forma correta podemos substituir os coeficientes e encontrar o valor da soma:

$\frac{1}{x_1}+\frac{1}{x_2}=-\frac bc\\ \\ \boxed{\boxed{\frac{1}{x_1}+\frac{1}{x_2}=-\frac{11}{4}}}$

R: d) -11/4