Question

Qual é o valor da expressão abaixo: * imagem 1+i 1-i 2+i 2-i

Answer 1

❑ A expressão vale $1 + \sqrt{-1}$ ou 1 + i.

❑ O que é unidade imaginária?

É o "i", que vale:

$\boxed{ i = \sqrt{-1} }$

Perceba que:

$\boxed{i^{2} = - 1}$

❑ Resolução da questão

➯ Temos a expressão:

$\dfrac{3+i}{2-i}$

➯ A operação que faremos a seguir parece bastante com a que é feita quando aprendemos racionalização.

➯ Nesse caso, queremos modificar o denominador da expressão. Para isso, vamos multiplicar em cima e embaixo por 2 + i, que é a expressão que tem no denominador com o sinal trocado. Note que como 2 + i dividido por 2 + i é o mesmo que 1, então não alteramos o valor da expressão.

$\dfrac{3+i}{2-i} \times \dfrac{2+i}{2+i} =$

• No numerador, vamos aplicar a propriedade distributiva da multiplicação.
• No denominador, vamos utilizar o seguinte produto notável: (a + b) (a - b) = a² - b²

$\dfrac{6 + 3i + 2i + i^{2} }{2^{2} - i^{2}} =$

$\dfrac{6 + 5i + i^{2} }{4- i^{2}} =$

Lembra que i² = - 1? Então, vamos substituir:

$\dfrac{6 + 5i + -1 }{4- (-1)} =$

$\dfrac{5+ 5i }{5} =$

$\dfrac{5 (1 + i) }{5} =$

Corta 5 com 5:

1 + i

ou

$1 + \sqrt{-1}$

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Answer 2

Resposta:

1 + i

Explicação passo-a-passo

$\frac{3+i}{2-i}= (3 + i).(2-i)^{-1}$

Como (2 - i)⁻¹ = $\frac{2+i}{2^{2}+1^{2} }=\frac{2+i}{5}$. Então,

$\frac{3+i}{2-i}=\frac{(3+i).(2+i)}{5}=\frac{6+ 3i+2i+i^{2} }{5}= \frac{5+5i}{5}=1 + i$