Question

Qual é o único número real X que satisfaz a equação​

Answer 1

Olá, boa tarde.

Devemos calcular o número real $x$ que satisfaz a equação:

$\begin{vmatrix}1-x&2&0\\0&1-x&3\\-1&-1&3-x\\\end{vmatrix}=0$

Para resolvermos o determinante, utilizamos a Regra de Sarrus. Consiste em replicarmos as duas primeiras colunas à direita do determinante e calcularmos a diferença entre a soma dos produtos dos elementos das diagonais principais e a soma dos produtos dos elementos das diagonais secundárias.

Replicando as colunas, temos:

$\left|\begin{matrix}1-x & 2 &0 \\ 0&1-x &3 \\ -1& -1 & 3-x\end{matrix}\right.\left|\begin{matrix}1-x & 2 \\ 0&1-x \\ -1& -1 \end{matrix}\right.=0$

Aplique a regra

$(1-x)\cdot(1-x)\cdot(3-x)+2\cdot3\cdot(-1)+0\cdot0\cdot(-1)-(2\cdot0\cdot(3-x)+(1-x)\cdot3\cdot(-1)+0\cdot(1-x)\cdot(-1))=0$

Multiplique os valores

$3-7x+5x^2-x^3-6+3-3x=0$

Some os termos semelhantes

$-x^3+5x^2-10x=0$

Fatore a expressão

$-x\cdot(x^2-5x+10)=0$

Para que um produto seja igual a zero, ao menos um de seus fatores deve ser igual a zero, logo

$-x=0~~~ou~~~x^2-5x+10=0$

Multiplique ambos os lados da primeira equação por $(-1)$. Utilizando a fórmula resolutiva na segunda equação, teremos

$x=0~~~ou~~~x=\dfrac{5-i\sqrt{15}}{2}~~~ou~~~x=\dfrac{5+i\sqrt{15}}{2}$

Facilmente, podemos ver que o único número real $x$ que satisfaz a equação é $x=0$, resposta contida na letra a).